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Factoriales, Raíces, Cambios de Base, Trigonometría y Geometría



Encuentra en esta pagina los mejores post de artículos relacionados con las operaciones matemáticas de:
Factoriales, raíces, cambios de base, trigonometría y geometría con el autor autodidacta Pol Flórez.













icon-Carpeta.png 01 Saber Mas Sobre Factoriales:








icon-Articulo.png 01 ¿Que es el Factorial?




00-Como-Escribir-la-Notacion-Factorial 00-Factoriales-de-la-Pol-Power-Calculator

01 Definicion de Factorial Normal Segun Pol


El número factorial normal, de un entero positivo, es un producto, de una serie de multiplicaciones, de factor variable e incremental, que va desde 1 , hasta el factor entero positivo del número a factorizar.

El factorial de un número N, se define, con una N con un signo de admiración después del número factor ( N! = Factorial normal ).

Cómo ejemplo de número factorial tenemos el 3 que es 3! = 1·2·3 = 6

Otro ejemplo sería el 4 factorial que es 4! = 1·2·3·4 = 24




02 Como Calculan Factoriales Racionales las Pol Power Calculator


Las calculadoras Pol Power Calculator, calculan los factoriales enteros de la manera fácil, ya que no es muy difícil, que es repetir un bucle el número factorial o sea N veces con variables de incremento en cada reiteración.

Para calcular los números factoriales racionales, emplea el mismo método que en la potenciación normal, que es el siguiente:

L = Limite de 1 seguido de tantos ceros menos 1 cómo decimales hay en M de N,M

N,M! = Resultado = N! + (((((N+1)!)-(N!))/L)·(M/10))

Así el calculo, siempre tiene el mismo intervalo de crecimiento exponencial entre (N+1)! y N!, lo cual tras fraccionar-lo, se determina el número de incógnita que va hay.

Cómo es de esperar, este proceso de multiplicaciones, nunca provoca números infinitos, por ser multiplicaciones de números finitos.




03 Para Que Sirven Las Notaciones Factoriales


La utilidad de los números factoriales, puede resumir-se para hacer-la servir en matemática estadística y probabílistica.

Por ejemplo:
Imaginemos que tenemos 3 gatos y los tenemos que ordenar con todos los diferentes ordenes que puedan existir.

El orden quedaría en esto:
1 2 3
1 3 2
2 1 3
2 3 1
3 1 2
3 2 1

Así lo que tenemos es 3!=6 posibles combinatorias para el orden de esos 3 gatos.





04 Por Que N Factorial Menor a 2 es Igual a N


El que N!=N cuando N<2 es por los propios pasos de factoriales de 1!=1 y 2!=2 , los cuales presentan la igualdad de cara a N=N! , y de esta igualdad que los factoriales menores a 2 , sean igualdades de las entradas de factoriales.

Esto se produce porque el factorial menor a 2 es 1 , y las multiplicaciones de 1 por algo, siempre son ese algo.

Si 1!=1 y el 2!=2 lo normal es que los factoriales menores a 2 , sean igualdades de los números de entradas de factoriales normales.




05 Por Que 0 Factorial es Igual a 0


En las Pol Power Calculator el factorial normal de 0! es igual a 0.

Se piensa que 0!=1 según la siguiente formula de factoriales normales:

N!=N·(N-1!) siendo N mayor a 0 , donde N menores a 2 pueden arrojar errores

Por ejemplo:
1!=1·0! ¿?
2!=2·1!
3!=3·2!
Donde esto se cumple con restas y multiplicaciones en los factoriales de números naturales, pero, los factoriales, no hemos de olvidar, que son siempre números multiplicados y sumados, así que reformulando la ecuación de N!=N·(N-1) multiplicando y sumando también hemos de dar con esta otra igualdad:

N+1!=N!·(N+1) Siendo N mayor a 0 , donde N menor a 1 no existe, ya que equivale a un conjunto vacio.

Que dado el ejemplo, y sabiendo que 1!=1 , tenemos que:
2!=1!·2
3!=2!·3
4!=3!·4

Donde aquí te muestro que realmente el número 1! y el numero 0! son casos de excepciones, cómo pasa en la propia multiplicación, y que en estos casos, no existen cómo tal ecuación, y pasa cómo pasa en multiplicaciones, que son excepciones, y que siendo estos ejemplos de 0!=0 y 1!=1 , son los que representan igualdades entre números de entrada y salida cómo ahora es el 2!=2.

Dando-se que 1!=1 y 0!=0








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icon-Articulo.png 02 ¿Que es el Factorial de Sumas?




00-Factoriales-de-Suma-y-Cuadrados-de-Enteros 00-Relacion-Factoriales-de-Suma-con-su-Cuadrado 00-Relacion-de-Potencias-con-Factoriales-de-Sumas 00-Triangulo-de-Pascal-Numeros-Factoriales-de-Sumas

01 Definicion de Factorial de Sumas Segun Pol


Los factoriales de sumas, son números en serie sumados, que imitan los factoriales normales, donde los normales son números en serie sumados y multiplicados.

El factorial de sumas de un número natural, está representado dentro del triángulo de Pascal, donde el factorial de sumas son los números que representan la tercera columna para cada fila y así el factorial de suma de un número natural puede mantener la cuenta de casillas que se lleva por filas.

Por ejemplo: El 2!S=1+2=3 y este 2 esta en la fila 2 donde hay tres casillas desde el principio , el 3!S=1+2+3=6 donde pasa parecido pero con la tercera fila que resulta en 6 casillas , el 4!S=1+2+3+4=10 con su incremento , y, el 5!S=1+2+3+4+5=15 , entre otros resultados.

Así el factorial de suma natural de un número de fila nos dará el resultado del número de casillas hexagonales del triángulo de Pascal.

El factorial de suma, de un número natural de X , es el punto intermedio del limite entre X y X al cuadrado.

Cuando X es Natural, la parte entre X y X al cuadrado siempre es de número par y entera, y así, el punto intermedio entre X y X al cuadrado es un número natural par o impar.

Por tanto si (X^2)-X=Y el factorial de suma de X!S=X+(Y/2)

También, cabe remarcar que los números perfectos, son en realidad números naturales que cumplen con la ecuación de factorial de suma siguiente:

((2^X)-1)!S donde X es cualquier impar natural.

En las calculadoras Pol Power Calculator, se cumple la siguiente ecuación, para saber el factorial de suma de un natural de X mayor a 0:

X!S = X^1,5

Donde X es cualquier número entero.

Para calcular en otras calculadoras los factoriales de sumas tenemos los siguientes métodos:

Teniendo X cómo un número natural y mayor a 0 , tenemos lo siguiente:

X!S = (X+1)·(X/2)

O con un porcentaje inverso:

X!S = ((50·(X+1))·X) / 100

El factorial de sumas, se escribe con la S después del símbolo de admiración ( !S ), lo cual, denota que X es un factorial de suma de X!S , donde X es un número entero y la admiración con S final ( !S ) denota que es un factorial de sumas, en vez del factorial de multiplicaciones normal.

El resultado de la suma de 2 factoriales de suma naturales consecutivos, siempre resulta, en un cuadrado exacto, del número N factorizado con factorial de sumas.

Así esto cumple lo siguiente siendo X natural:

X^2 = X!S + (X-1)!S

X = X!S - (X-1)!S

También se cumple lo siguiente:

X^2 = X + (X-1)!S + (X-1)!S

(X-1)!S = (X-1)·(X/2)

Y de este hecho, podemos deducir, que (X-1)!S , es el punto medio de la parte del valor entre X y X^2 , y que sumado esté a si mismo, más la base X , hacen el cuadrado de X





02 El 6 es un Numero Super Perfecto


El 6 , es un número super perfecto. El 3!=3!S=6 es el único número que es la suma de todos sus divisores enteros, y a su vez, es la multiplicación de todos sus números divisores enteros, lo cual, me lleva a decir, que este número es un número super perfecto y único por tener esta cualidad.

El 3!S = 1+2+3 = 6
El 3! = 1·2·3 = 6


Ahora veamos los primeros factoriales normales empezando desde el 3...

6 = 3!
24 = 4!
120 = 5!
720 = 6!
5.040 = 7!
40.320 = 8!

Todos los factoriales de enteros mayores a 3 son divisibles por 6 desde el mismo 6=3!=3!S de manera finita y entera...

6.720 Simetric = 40.320 / 6
840 Simetric = 5.040 / 6
120 Simetric = 720 / 6
20 Simetric = 120 / 6
4 Simetric = 24 / 6
1 Simetric = 6 / 6


También ocurren todas estas ecuaciones en las calculadoras Pol Power Calculator, que tienen que ver con el 6:

6 = 3!S = 3 ^ 1,5
21 = 6!S = 6 ^ 1,5
36 = 8!S = 8 ^ 1,5
45 = 9!S = 9 ^ 1,5
55 = 10!S = 10 ^ 1,5
66 = 11!S = 11 ^ 1,5
666 = 36!S = 36 ^ 1,5

Ahora solo con los números 6:

21 = 6!S = 6 ^ 1,5
2.211 = 66!S = 66 ^ 1,5
222.111 = 666!S = 666 ^ 1,5
22.221.111 = 6.666!S = 6.666 ^ 1,5

36 = 6 ^ 2
4.356 = 66 ^ 2
443.556 = 666 ^ 2
44.435.556 = 6.666 ^ 2

Aunque todos estos resultados se parecen por ser los multiplos de 6 , no son iguales, ni tampoco son el mismo porcentaje entre ellos...

Así el 6 , es un número super perfecto...



03 Los Factoriales de Sumas Racionales Se Calculan Asi


Los factoriales de sumas racionales, son una cosa, que se calcula, poniendo un limite a la parte decimal, que sumados al resultado de su parte entera, resulta en su número factorial de suma en las calculadoras Pol Power Calculator.

Los factoriales de sumas racionales se calculan de esta forma:

Por ejemplo:

Limite = El limite es 1 Seguido de tantos ceros como decimales tenga Y menos 1

X,Y!S = ((((X+1)!S-X!S)/Limite)·(0,Y))+X!S





04 La Norma del Factorial de Sumas entre 0 y 1


Los factoriales de sumas, también cumplen la norma de igualdad de factoriales de entrada, cuando estos son menores o iguales a 1 , donde los factoriales de suma menores a 1 tienen la igualdad del número factorial de entrada.

Esto solo se produce cuando es la suma de 0 + un número entre 0 y 1 o igual a 1.

Así, los factoriales de suma menores a 1!S son igualdades de los números de entrada ya que son sumas de 0 más algo entre 0 y 1.




05 La Raiz Como Funcion Inversa de los Factoriales de Suma


Las raíces de base 1,5 , pueden devolvernos el número inicial de un factorial de sumas cuando este era de número entero.

Si la raíz de base 1,5 nos devuelve un número racional, es porque el factorial de sumas también era racional, lo cual no nos devolverá el número correcto.

Así la raíz de base 1,5 con el radicando de un resultado de un factorial de sumas, nos devolverá el número inicial del factorial de sumas, siempre y cuando, este fuera entero y si este es racional, nos debemos quedar con su parte entera y proceder a calcular su parte decimal proporcional en base a un calculo a parte.

También hay que saber que estos números, solo se pueden hacer con las calculadoras Pol Power Calculator, ya que otras calculadoras no tienen esta exactitud con las bases de las raíces racionales, lo cual impide de todas las maneras deshacer los números factoriales de sumas en otras calculadoras, siguiendo el método de calculo propuesto.




06 La Regla de los Pares e Impares Dobles en Factoriales de Sumas


En los factoriales de Suma de número entero del 1 al infinito, podemos ver que siempre hay la regla del doble impar seguido de doble par en los resultados de cada dos factoriales de suma.

Esto es de este modo:

1 = 1!S = Impar
3 = 2!S = Impar
6 = 3!S = Par
10 = 4!S = Par
15 = 5!S = Impar
21 = 6!S = Impar
28 = 7!S = Par
36 = 8!S = Par
45 = 9!S = Impar
55 = 10!S = Impar
66 = 11!S = Par
78 = 12!S = Par
91 = 13!S = Impar
105 = 14!S = Impar
120 = 15!S = Par
136 = 16!S = Par
Etc...




07 El Problema del Factorial de Suma


El problema del factorial de suma de un número X , resuelve el punto intermedio que existe entre el número X y X al cuadrado, donde el factorial de sumas de X menos 1 mas X nos devuelve el número de X factorial de suma.

Por ejemplo: Tenemos un grupo X de cuatro personas y a cada persona le asignamos un número empezando por el 1 y acabando por el número X que es 4 , entonces la suma de números asignados a las personas nos devuelve diez.

Así cada persona vale X que sumada dos veces al factorial de sumas de X menos 1 conforma el cuadrado.

La formula de esto es X^2 = X + (X-1)!S + (X-1)!S

X!S = (X+1)·(X/2)




08 Coincidencia de Factoriales de Suma con Potencias de Base 2


Aquí lanzo la coincidencia de factoriales de suma con potencias de base 2 y exponente natural e impar:

8 = 3,5!S = 2^3

32 = 7,5!S = 2^5

128 = 15,5!S = 2^7

512 = 31,5!S = 2^9




09 Ejemplos de Factoriales de Suma del 1 al 9


Aquí tienes los primeros 9 números de resultado de factoriales de suma de entre el 1 y el 9 , pasando por los de media unidad también:

1 = 1!S
2 = 1,5!S
3 = 2!S
4,5 = 2,5!S
6 = 3!S
8 = 3,5!S
10 = 4!S
12,5 = 4,5!S
15 = 5!S
18 = 5,5!S
21 = 6!S
24,5 = 6,5!S
28 = 7!S
32 = 7,5!S
36 = 8!S
40,5 = 8,5!S
45 = 9!S
50 = 9,5!S
55 = 10!S










X1-Grafica-de-Factoriales-de-Suma

X2 La Herramienta Desmos Para Graficar Funciones


La herramienta de "Desmos" para graficar funciones algebraicas, es una gran herramienta, y tienes enlaces hacia está, justo debajo de este POST de artículo.

La gráfica de la ecuación de factoriales de sumas, nos muestra esta peculiar imagen de la función factorial de suma, en la que hay aplicadas las ecuaciones de cara al eje X en positivo y en negativo.








Puntuación del Autor:

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icon-Articulo.png 03 Multiples de Enteros o Irracionales con Factoriales




00-Diferencias-de-Potencias-de-Pol-Power-Calculator 00-Diferencias-y-Relacion-de-Potencias 00-Factoriales-de-Suma-y-Cuadrados-de-Enteros 00-La-Propiedad-del-Menos-1 00-Potencias-en-las-Pol-Power-Calculator

Cuestion de Pares o Impares


Observemos lo siguiente:

6 = 3!S <- (2^2)-1
28 = 7!S <- (2^3)-1
120 = 15!S <- (2^4)-1
496 = 31!S <- (2^5)-1
2.016 = 63!S <- (2^6)-1
8.128 = 127!S <- (2^7)-1
32.640 = 255!S <- (2^8)-1
130.816 = 511!S <- (2^9)-1

Ahora, observemos las siguientes divisiones entre estos factoriales de sumas:

1.090,1333333333333333333333333333 Irracional = 130.816 / 120 = ((2^9)-1)!S / ((2^4)-1)!S
272 Entero = 32.640 / 120 = ((2^8)-1)!S / ((2^4)-1)!S
290,285714285714285714285714285714 Irracional = 8.128 / 28 = ((2^7)-1)!S / ((2^3)-1)!S
72 Entero = 2.016 / 28 = ((2^6)-1)!S / ((2^3)-1)!S
82,6666666666666666666666666666666 Irracional = 496 / 6 = ((2^5)-1)!S / ((2^2)-1)!S
20 Entero = 120 / 6 = ((2^4)-1)!S / ((2^2)-1)!S

Observando estas divisiones, podemos ver, que cuando dividimos el factorial de suma de potencias de exponente impares, por el factorial de sumas que representa la mitad con potencias de exponente de media parte de la del numerador, salen resultados irracionales, por el contrario, cuando se divide un factorial de suma, que sale de potencias pares, por su potencia de media parte de la del numerador, salen resultados enteros.

Esto nos puede llevar a asociar los números pares con enteros y los números impares con racionales o irracionales, cómo pasa en las divisiones de X entera de numerador, por 2 de denominador, donde una división de X entera y par, por 2 , nos devuelve un número entero, y, con una división de X entera e impar, por 2 , nos devuelve un racional.




Ecuaciones con Factoriales


Observemos las siguientes igualdades:

24 = 4!
120 = 5!
720 = 6!
5.040 = 7!
40.320 = 8!

6 = 3!S
10 = 4!S
15 = 5!S
21 = 6!S
28 = 7!S

Si hacemos X! / (X-1)!S tenemos lo siguiente:

4 Simetric = 24 / 6
12 Simetric = 120 / 10
48 Simetric = 720 / 15
240 Simetric = 5.040 / 21
1.440 Simetric = 40.320 / 28

Que es esto en escala:

12 = 4 · 3
48 = 12 · 4
240 = 48 · 5
1.440 = 240 · 6














icon-Carpeta.png 02 Saber Mas Sobre Raices o Radicales:








icon-Articulo.png 01 ¿Que es una Raiz?




00-Convergencia-en-0-y-1-en-Potencias-y-Raices-de-las-Pol-Power-Calculator 00-Forma-de-Expresar-una-Raiz-o-Radical 00-Potencia-Raiz-o-Radical-y-Logaritmo

Definicion de Raiz o Radical Segun Pol


La raíz o radical, es una de las dos funciones inversas de las potencias normales, donde en esta función, lo que se consigue, es la base de una potencia, donde el radicando de una raíz, es el resultado de una potencia y el exponente de esa potencia, es la base de la raíz.

Una raíz o radical, cuando radicando es mayor o igual a 1 , y de base es mayor a 1 , nunca puede dar un número menor a 1.

Una raíz o radical, cuando radicando esta entre 0 y 1 , y la base es mayor a 1 , el resultado de la raíz siempre es mayor al radicando.

Una raíz o radical, cuando la base esta entre 0 y 1 en otras calculadoras que no sean las Pol Power Calculator, estas ya no existen, ya que el resultado, se considera, que es una potencia con el exponente invertido.

Esto último, no pasa en las raíces o radicales de las calculadoras Pol Power Calculator, ya que son diferentes a las raíces o radicales de otras calculadoras, y las potencias, también son distintas a las de otras calculadoras.

Por ejemplo, en las Pol Power Calculator tenemos las siguientes raíces o radicales:

El primer ejemplo es 4 yRoot 0,25 = 16 ya que 16 ^ 0,25 = 4

El segundo ejemplo es 0,125 yRoot 0,5 = 0,25 ya que 0,25 ^ 0,5 = 0,125

El tercer ejemplo es 4 yRoot 2 = 2 ya que 2 ^ 2 = 4

El cuarto y último ejemplo es el de 0,25 yRoot 2 = 0,5 ya que 0,5 ^ 2 = 0,25








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icon-Articulo.png 02 ¿Como Hacer Raices de Base Seleccionable?




0-Forma-de-Expresar-una-Raiz 0-Hacer-Raiz-Cuadrada 0-Pasos-Raiz-Cuadrada-y-Cubica

Como Hacer Raices de Cualquier Base


Cómo resolver las raíces de cualquier base en un método por aproximación

Buscamos un número A = (B^C) que sea igual o inferior a nuestro número ( Num ) elevando B Por C
Donde B = Producto
Donde C = es la base de la raíz o el exponente de la potencia ( 2,3,4,etc... )

Cuando tenemos A debemos sumar A a Num para dividir-lo entre la multiplicación de (B^(C-1))· 2

Si C < 2 C queda en (B^C)· 2 sin la resta de 1

Con lo que tendremos el resultado aproximado si el resultado es asimétrico con dígitos decimales, y exacto, si es entero o simétrico.




Ejemplos de Raices de Cualquier Base


Aquí te muestro en 3 ejemplos cómo hacer una raíz simétrica de base seleccionable por pasos.

Ejemplo de Raíz Cuadrada de 16 ( simétrica ):
  1. 4 = 16 yRoot 2
  2. 16 = 4 ^ 2
  3. 32 = 16 + 16
  4. 4 = 4 ^ 1
  5. 8 = 4 · 2
  6. 4 Simetric = 32 / 8

Ejemplo de Raíz Cubica de 64 ( simétrica ):
  1. 4 = 64 yRoot 3
  2. 64 = 4 ^ 3
  3. 128 = 64 + 64
  4. 16 = 4 ^ 2
  5. 32 = 16 · 2
  6. 4 Simetric = 128 / 32

Ejemplo de Raíz Cuadrica de 4.096 ( simétrica ):
  1. 8 = 4.096 yRoot 4
  2. 4.096 = 8 ^ 4
  3. 8.192 = 4.096 + 4.096
  4. 512 = 8 ^ 3
  5. 1.024 = 512 · 2
  6. 8 Simetric = 8.192 / 1.024






icon-Articulo.png 03 La Limitacion de las Raices en las Pol Power Calculator Hasta la Base 128




0-Hacer-Raiz-Cuadrada

El Limite de Base 128 Para Raices


Las calculadoras Pol Power Calculator tienen limitaciones en las raíces de bases hasta las de 128.

La limitación esta en la parte de comprobar la exactitud de la ecuación, donde esta se queda bloqueada por la largada del proceso de calculo.

Esta limitación es comprensible por la manera de calcular las raíces que tiene la calculadora, y es un problema de cuestiones largas de explicar, en las que resumiendo en su por que, sale el que una raíz de base mayor a 128 es bastante más complicada de calcular, en la que la calculadora hace demasiados ciclos para calcular raíces de base mayores a 128 , en las que se tardaría mucho, requiriendo mucho tiempo de computo.

La limitación, es por el tiempo que tardaría en la resolución cuando es exacta, ya que por la aproximación si que es computable y rápida, pero es errónea y por exactitud tardaría mucho tiempo en calcular-se.

De momento tienen esta limitación, aunque sigo investigando cómo mejorar este aspecto, el cual nos puede delimitar un poco a la hora de hacer números.





Saltar la Limitacion de Base 128


La limitación de base hasta 128 impuesta por el tiempo de computo de la función de raíces en las Pol Power Calculator, puede ser esquivada de una forma un tanto peculiar, haciendo superraíces en las que haciendo varias raíces consecutivas con los resultados, se puede esquivar la limitación para algunos casos.

Por ejemplo:

Si tenemos que hacer la raíz de 2 yRoot 1.000 podemos hacer:

1,07177346 = 2 yRoot 10
1,00695554 = 1,07177346 yRoot 10
1,00069338 = 1,00695554 yRoot 10
Con lo que tendremos la raíz de 2 yRoot 1.000 = 1,00069338

Y así podemos esquivar la limitación para algunos casos, y aunque no es muy buen método, es una forma de esquivar la limitación por el momento, ya que de momento no se cómo mejorar el proceso del algoritmo que tienen las calculadoras.






icon-Articulo.png 04 ¿Que es una Super Raiz?




00-Forma-de-Expresar-una-Super-Raiz

Que es una Super Raiz


La super-raíz es la inversa de la tetración con la que conseguimos un número base a base de repeticiones de una raíz normal, llegando al resultado de la super-raíz.

Por ejemplo:

Si tenemos que ((2^2)^2)^2=256
Así la super raíz de 256 ySRoot 2 3 es:

16 = 256 yRoot 2
4 = 16 yRoot 2
2 = 4 yRoot 2

Así nos queda que 256 ySRoot 2 3 es 2













icon-Carpeta.png 03 Saber Mas Sobre Trigonometria:








icon-Articulo.png 01 ¿Que es la Trigonometria?




00-Funciones-Trigonometricas-del-Triangulo-Rectangulo 00-Ley-de-Proporcionalidades-entre-Triangulos-Equivalentes 00-Tipos-de-Angulos-Segun-Sus-Grados 00-Tipos-de-Triangulos 00-Valores-de-las-Funciones-Trigonometrocas

01 Que es la Trigonometria


La trigonometría, es la rama de las matemáticas que estudia la relación que hay entre las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo y la hipotenusa de estos triángulos, y con ello se estudia la relación que tienen con las medidas de sus ángulos y sus proporciones variables.

Todos los tipos de triángulos derivan de triángulos rectángulos, ya que los que no son triángulos rectángulos, salen de un par de triángulos que si son triángulos rectángulos.

Los triángulos rectángulos son similares, cuando tienen los mismos ángulos internos iguales, así que tienen las mismas proporciones cuando son de distinto tamaño, teniendo las mismas proporciones en cada uno de sus lados.

Cuando dos triángulos son el espejo el uno del otro se dice que son congruentes.




02 Medidas de los Angulos de los Triangulos


Para medir ángulos se utilizan dos unidades fundamentalmente que son:

Grado sexagesimal:
Es el arco que se obtiene al dividir la circunferencia en 360 partes iguales.
Un grado tiene 60 minutos y un minuto tiene 60 segundos.

Radián:
Es el ángulo cuya longitud de arco equivale al radio de la circunferencia.
Así el radián vale: Longitud/radio = (2 Pi · R) / R = 2 Pi
Un radián vale aproximadamente 57º






Puntuación del Autor:

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icon-Articulo.png Seno, Coseno y Tangente




00-Teorema-de-Pitagoras-Sobre-Senos-y-Cosenos 00-Tipos-de-Angulos-Segun-Sus-Grados 00-Trigonometria-del-Triangulo-Rectangulo 00-Valores-de-las-Funciones-Trigonometrocas

La Importancia de los Lados de un Triangulo Rectangulo


Todos los lados de un triángulo rectángulo, los 2 lados y su hipotenusa, son vitales para obtener los valores de seno, coseno y tangente.

- El Seno es el lado del triángulo rectángulo opuesto dividido por la hipotenusa.
- El Coseno es el lado del triángulo rectángulo adyacente dividido por la hipotenusa.
- La Tangente es ambos lados del triángulo rectángulo opuesto dividido por el adyacente.








Senos Cosenos y Tangentes


El teorema de Pitágoras es muy usado en las funciones de seno, coseno y tangente.

Para saber el seno o el coseno que van desde 0 a 1 basando-se en escalas de 0º a 90º grados, hay que aplicar las formulas de calculo entre opuesto e hipotenusa para el seno y adyacente e hipotenusa para coseno.

Las tangentes van con valores de 0 a 1 también, basando-se en una escala de 0º hasta los 45º grados en los que se usa la formula entre opuesto y adyacente.

Los triángulos rectángulo son los que al menos tienen un ángulo recto de 90º grados, que sumados a los otros dos ángulos internos suman siempre los 180º grados.

La ley de Pitágoras nos sirve para determinar cual es la nueva hipotenusa, cuando el ángulo adyacente o el cateto opuesto crecen o decrecen, aplicando diferentes ángulos para cada nuevo triángulo de ángulos distintos.

Los cáluclos de los resultados de esos crecimientos o decrecimientos, se encuentran los valores de número para determinar los senos, cosenos y tangentes.

El Seno es opuesto/hipotenusa siendo el 45º = 0,70710678
El Coseno es adyacente/hipotenusa siendo el 45º = 0,70710678
La Tangente es opuesto/adyacente siendo 45º = 1















icon-Carpeta.png 04 Saber Mas Sobre Geometria:








icon-Articulo.png 01 ¿Que es la Geometria?




00-Bi-Planos-2D-de-Las-Figuras-Minimas 00-Conceptos-Primitivos-Para-las-Figuras-Geometricas 00-La-7a-Dimension

01 Que es la Geometria


La geometría es una de las ramas de las matemáticas, que estudia las propiedades de las figuras en el plano 2D o el espacio 3D.

La geometría estudia todos los elementos geométricos, cómo ahora son: los cruces, los puntos, las líneas, las rectas, los planos, las superficies, etc...





02 Que es el Area y El Volumen


El Área es una medida que contabiliza el tamaño de una superficie.

La medida del área, es una variable numérica, que contabiliza el tamaño dado por una ecuación.

El volumen es una medida que contabiliza el tamaño de un espacio.

La medida de volumen es otra variable numérica que contabiliza el tamaño dado por una ecuación.










icon-Articulo.png 02 ¿Que son los Poligonos?




00-Poligonos

Que son los Poligonos


Un polígono es una figura plana en 2D, compuesta de segmentos ( aristas ), que encierran una región de espacio plano en 2D.

Los puntos donde se interseccionan son los llamados vertices.

Todos estos polígonos pueden seccionar-se en triángulos rectángulos para obtener sus áreas.








icon-Articulo.png 03 ¿Que son los Poliedros?




00-Poliedros-Regulares

1 Los Poliedros Regulares, son los Solidos Platonicos


Los sólidos platónicos son poliedros regulares, con todos sus lados iguales, y con el mismo número de aristas para cada vertice.

Solo existen 5 tipos de poliedros regulares conocidos, con 3 poligonos regulares de lados diferentes, que son los de la imagen de más arriba.

El matemático Leonhard Euler, propuso esta formula cuando las letras de la definición son: F=Caras , E=Aristas y V=Vertices.

V+F-E=2

Por ejemplo, el cubo es:
6+8-12=2




2 Los Poliedros Irregulares


Los sólidos arquimedianos son un ejemplo de poliedros irregulares, con diferencias en sus lados, vertices y aristas.

Existen muchos poliedros irregulares cada uno de diferentes poligonos irregulares.

Una caracteristica distintiva de los poliedros irregulares es que no puede haber uno con 7 aristas.






icon-Articulo.png 04 Teoremas




01-00-Teorema-Pitagoras 01-00-Teorema-de-Pitagoras

01 01 Definicion de la Teoria de Pitagoras


La teoría de Pitágoras es muy conocida y muy usada en geometría.

La teoría dice lo siguiente:

El lado más largo de un triángulo rectángulo llamado hipotenusa, es la raíz cuadrada, de la suma de ambas longitudes al cuadrado de los otros lados, en el triángulo rectángulo.

Así se cumple que (A^2)+(B^2)=(C^2)

Cuando sus lados tienen la misma longitud, la altura del triángulo rectángulo es la mitad de la hipotenusa del triángulo rectángulo.





01 02 Que Son Las Ternas Pitagoricas


Se les llama "Ternas Pitagóricas" a las ecuaciones del teorema de Pitágoras, cuando los dos lados y la hipotenusa del triángulo rectángulo, coinciden en números naturales.

Así las ternas Pitagóricas, son solo ecuaciones, del Teorema de Pitágoras, que coinciden con números naturales.

Ejemplos de Ternas Pitagóricas:
A^2 | B^2 = C^2
3 | 4 = 5
5 | 12 = 13
7 | 24 = 25
8 | 15 = 17
9 | 40 = 41


02-00-Ultimo-Teorema-de-Fermat

02 01 El Ultimo Teorema de Fermat


El último teorema de Fermat, establece que, la ecuación diofantina sobre naturales establece que: (A^N)+(B^N)=(C^N) no puede ser satisfecha, cuando N es natural y mayor a 2

Cuando N es igual a 1 el problema es trivial, y cuando N es igual a 2 , puede resultar en lo que son las ternas Pitagóricas ya descritas, y las mayores a 2 , se dice que no tienen solución.

Andrew Wiles demostró que el teorema es cierto, ya que sin sumas de más, el teorema resulta ser cierto.

Si a este teorema le añadieramos que solo puede ser resuelto de este modo cuando N cumple N-1 veces la suma...

Por ejemplo:

Tenemos (A^3)+(B^3)+(C^3)=(D^3)

(1^3)+(6^3)+(8^3)=(9^3)

1+216+512=729

Para las de cuatro tenemos lo siguiente( solo lo veo así con un más 2 pero pienso que debe haber de exactas ):

Tenemos (A^4)+(B^4)+(C^4)+(D^4)=(E^4)+2

(2^4)+(4^4)+(11^4)+(15^4)=(16^4)+2

16+256+14.641+50.625=65.538

Con todo esto, puedes cerciorarte que lo que se cumple es algo de esto:

(2^1)+(2^1)=(2^2)

(3^1)+(3^1)+(3^1)=(3^2)

Donde en esto, nos podemos fijar, en que cuando crece base, también lo hace el número de sumas, y es por esto, que se cumple el teorema de fermat en todo esto. Podriamos decir que el número de sumas es la que decide el cierre simétrico de esa simetría.



03-00-Teorema-de-Tales-Rectangulos-de-Semicirculos

03 01 Teorema de Tales Triangulos Rectangulos en Semicirculos


El teorema de Tales describe triángulos rectángulos dentro de semicirculos.

El teorema de Tales nos dice que siendo A B y C puntos de un semicirculo, el cual tiene dos puntos ( A y C ) con el diámetro del circulo, que utilizando-lo de hipotenuca, el triángulo rectángulo que forman los puntos, tiene un ángulo en B que es siempre de 90º grados.

Si el diámetro de un circulo es utilizado de hipotenusa, cualquier tercer punto del semicirculo puede formar un triángulo rectángulo.


04-00-Teorema-de-Napoleon-Bonaparte

04 01 Teorema de Napoleon Bonaparte


La teoría de Napoleon Bonaparte describe que cualquier triángulo, construyendo-le a los lados de dicho triángulo 3 triángulos equilateros, los centros de los triángulos construidos, forman otro triángulo equilátero.

Esto es parecido cuando tratamos con cuadrados y rectángulos donde los cuadrados forman un 6º cuadrado del doble de espacio que el primero o el del centro, y con rectángulos pasa algo parecido.












icon-Articulo.png 05 Calculo de Areas y Volumenes de las Figuras en 3D




00-Calculos-de-Areas-de-Figuras-Geometricas-Corrientes-en-3D

Calculos de Areas de Figuras Geometricas de 3D


El calculo del área de las figuras más simples en 3D, siempre se hacen con números mayores a 1 en lo que llamamos sus aristas o variables de ecuación.

Así las formulas generales para resolver las áreas de las figuras en geometría, se aplican con números mayores a 1 en sus variables de lados, y son las siguientes:
  1. El cubo: Base · Altura · 6
  2. La esféra: (8·Pi·Radio^2) / 2




Calculos de Volumenes de Figuras Geometricas de 3D


El calculo del volumen de las figuras más simples en 3D, siempre se hacen con números mayores a 1 en lo que llamamos sus aristas o variables de la ecuación.

Así las formulas generales para resolver los volumenes de las figuras en geometría, se aplican con números mayores a 1 en sus variables de lados, y son las siguientes:
  1. El cubo: Base · Altura · Fondo
  2. La esféra: (8·Pi·Radio^3) / 6






icon-Articulo.png 06 Calculo de Areas de Figuras en un Plano 2D




00-Calculos-de-Areas-de-Figuras-Geometricas-Corrientes

01 Calculos de Areas de Figuras Geometricas de 2D


El calculo del área de las figuras más simples, nos puede llevar a poder calcular cualquier tipo de figuras más complejas en 2D construidas en triángulos rectángulos, y siempre se hacen con cálculos de números, con números mayores a 1 , para cada una de sus aristas, lados o líneas de dimensión, por la excepción que provocan los números entre 0 y 1 , para sus aristas, lados o líneas de dimensión en el calculo del área de cuadrados, rectángulos, tríangulos y circulos.

Cualquier triángulo que no sea rectángulo, puede salir de 2 que si lo sean, y además con estas primeras formas geométricas es posible construir cualquier otra figura geométrica que derive de triángulos rectángulos.

Así las formulas generales para resolver las áreas de las figuras en geometría básicas, con números mayores a 1 en sus variables de aristas, lados, o líneas de dimensión son las siguientes:
  1. El triángulo rectángulo: Base · Altura / 2
  2. El cuadrado: Base · Altura
  3. El rectángulo: Base · Altura
  4. El circulo: Pi · Radio al cuadrado


02-01-Formula-de-Brahmagupta-Para-El-Area-Cudrilatero-Ciclico

02 02 Formula de Brahmagupta


Brahmagupta ideó la formula para calcular el área de un cuadrilátero cíclico cuando todas sus aristas son mayores a 2.

La formula es la siguiente:
Resultado = ((s-a)·(s-b)·(s-c)·(s-d)) yRoot 2

Donde S es igual a (a+b+c+d)/2

Donde a, b, c, y d son mayores a 1.






icon-Articulo.png El Problema del Cuadrito del Infinito




00-El-Cuadrado-Finito-Contra-el-Rectangulo-Infinito

01 El Problema del Cuadrito de Mas


El problema del cuadrito o casilla de más, es un problema por cambio de figura y de área equivalente, que solo es una ilusión óptica.

Hay 2 formas de ver ese cuadrito de más que son:
1.- Calculando el área del cudrado completo y el área del rectángulo completo.
2.- Contando cuadritos particionados por la hipotenusa y enteros no particionados.

Calculando el área de las dos figuras, te das cuenta de que la mitad triangular del área del rectángulo, tiene media casilla más que el cuadrado completo.

Para el segundo caso, se puede ver que en la figura rectángulo partida por la hipotenusa, el área triangular tiene 26 casillas enteras para cada triángulo y 13 casillas particionadas por la hipotenusa.

A diferencia del cuadrado que tiene 28 enteras por cada triángulo y 8 particionadas, las cuales si hechas cuentas, puedes ver que hay medio cuadrado más por áreas triangulares de la figura rectángulo.




02 Resuelve Este Cambio de Figura


Este es el Procedimiento Para Detectar los Cuadritos Particionados de Más de la Figura Rectángulo:

65 = 13 · 5 = 26 + 26 + 13
64 = 8 · 8 = 28 + 28 + 8

Forma de Averiguar-lo ( Lo Correcto Contabilizando las Áreas de las Figuras ):

Área de Cada Cuadrado de 3·5
15 = 5 · 3

Área de Cada Triángulo de 3·5
7,5 = (5 · 3) / 2

Área de Cada Triangulo de 3·2
3 = (3 · 2) / 2

Área de Cada Triangulo de 3·3
4,5 = (3 · 3) / 2


Área Figura Completa del Rectángulo:
15 + 3 + 4,5 = 32,5 · 2 Triángulos = 65 Casillas

Área Figura Completa del Cuadrado:
15 + 15 + 7,5 + 7,5 + 4,5 + 4,5 = 64 Casillas





03 La Analoga Relacion de este Problema con las Potencias


La análoga relación que hay en el problema del cuadrito del infinito, se puede extrapolar a las potencias de las Pol Power Calculator.

Las potencias de las Pol Power Calculator suelen tener números en potencias de exponente racional, que no cuadran como nos hacen creer en otras calculadoras.

Por ejemplo, en otras calculadoras se cumple lo siguiente:
(2^1,5)·(2^1,5)=2^3

Donde esto mismo en las Pol Power Calculator es lo siguiente:
(2^1,5)·(2^1,5)=2^3,125

Esta proporción de más ( 0,125 ) equivale al cuadrito del infinito, donde en la Pol Power Calculator el 2^1,5 equivale al 13·5=65 y en otras calculadoras se asume que el valor de 2^1,5 es el de 8·8=64

La diferencia esta en que una es un cuadrado ( otras calculadoras ), y la otra no lo es ( Pol Power Calculator ), y en esto esta la pequeña diferencia del cuadrito de más, en que para una es un cuadrado y la otra no lo es.

Siguiendo el rumbo de esto del cuadrado, hay que decir que, la Pol Power Calculator cumple lo siguiente:
2^1=2
2^2=4

Así 2^1,5=3

Así los cuadrados de entre 2^1 y 2^2 están los números 4=2^2 y 16=4^2 por tanto el número intermedio de estos que es el 3^2=9 y esto es el ((16-4)/2)+3=9 donde este 9 es el (2^1,5)^2=9

Esto puede resultar en algo confuso, pero, es un hecho real aplicado en matemáticas de las Pol Power Calculator, y este es uno de los motivos del por que dos exponentes racionales no se pueden sumar en las Pol Power Calculator, y es que esto es porque ningún número al cuadrado puede dar ocho exacto pero nueve si...













icon-Carpeta.png 05 Cambios Entre Bases:








icon-Articulo.png ¿Como Convertir de Decimal a Binarios y de Binario a Decimales?




00-Conversion-a-Binario 00-Convertir-Decimal-a-Binario-y-Binario-a-Decimal

Convierte de Base Decimal a la Binaria y a la Inversa


Para convertir de binario a decimal se han de seguir estos pasos cogiendo el número binario desde la derecha hacia izquierda número a número y multiplicando en cada número por 2:
1010 = 1·0 + 2·1 + 4·0 + 8·1
Así 1010 en Binario es 10 en Decimal

Para convertir de decimal a binario se han de seguir estos pasos dividiendo en cada caso por 2 y conservando su parte entera anotando el residuo de la división cómo resultado y el resultado anotar-lo de izquierda a derecha:
10 = 10MOD2=0 & 5MOD2=1 & 2MOD2=0 & 1MOD2=1
Así 10 en Decimal es 1010 en Binario


















icon-Articulo.png ¿Como Convertir de Decimal a Hexadecimales y de Hexadecimal a Decimales?




00-Conversion-a-Binario

Convierte de Base Decimal a la Hexadecimal y a la Inversa


Para convertir de hexadecimal a decimal hay que saber cómo convertir de binario a decimal con el siguiente método:
Convirtamos el 24 hexadecimal en decimal
Hexadecimal | Binario
1 = 0001
2 = 0010
3 = 0011
4 = 0100
5 = 0101
6 = 0110
7 = 0111
8 = 1000
9 = 1001
A = 1010
B = 1011
C = 1100
D = 1101
E = 1110
F = 1111
Así 24 en hexadecimal es el 0010 & 0100 en binario y el 100100 en binario es en decimal: 36

Para convertir de decimal a hexadecimal se tiene que dividir entre 16 y quedarnos con la parte entera de este modo y restar cómo se muestra a continuación:
Convirtamos el 17 decimal a hexadecimal:
17/16=1 & 17-(16·1)=1
Así el 17 en decimal es 11 en hexadecimal











icon-Articulo.png ¿Como Convertir de Decimal a Octales y de Octal a Decimales?




00-Conversion-a-Binario

Convierte de Base Decimal a la Octal y a la Inversa


Para convertir de octal a decimal hay que saber cómo convertir de binario a decimal con el siguiente método:
Convirtamos el 16 en octal
Octal | Binario
1 = 001
2 = 010
3 = 011
4 = 100
5 = 101
6 = 110
7 = 111
Así 16 en octal es el 001 & 110 en binario y el 1110 en binario es: 14

Para convertir de decimal a octal se tiene que dividir entre 8 y quedarnos con la parte entera de este modo y restar cómo se muestra a continuación:
Convirtamos el 28 decimal a octal:
28/8=3 & 28-(8·3)=4
Así el 28 en decimal es 34 en octal