Factoriales, Raíces, Cambios de Base, Trigonometría y Geometría
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Factoriales, raíces, cambios de base, trigonometría y geometría con el autor autodidacta Pol Flórez.
Estos contenidos tratan de llegar a números base X mediante raíces, u obtener de una base X un número N , con sumas o multiplicaciones de números en series.
También trata de los diferentes cambios de base en el número X y del uso y explotación en geometría de las 2 primeras ( Factoriales y Raíces ).
01 Saber Mas Sobre Factoriales:
01 ¿Que es el Factorial?
01 Definicion de Numero Factorial Segun Pol
La notación factorial de un número N natural, es igual, al resultado de multiplicar uno o varios números en serie, con un factor variable e incremental de
unidad en unidad, hasta, el valor N factorizado.
La notación factorial en las calculadoras Pol Power Calculator, se considera la sumatoria de multiplicaciones en serie, con la multiplicación
de N incremental N veces.
Por ejemplo:
3! = 1·2·3 = (1·2)-->(2·3) = 6 que a demás es el primer número, después del primer número de valor grupal ( el 2 )
que comienza por grupos del 2 y sigue con el 3 que es su siguiente natural, y que a demás, es un número super perfecto.
02 Como Calculan Factoriales Racionales las Pol Power Calculator
Las calculadoras Pol Power Calculator, calculan los factoriales de multiplicaciones naturales de la manera fácil, ya que no es muy difícil, que es repetir un bucle el
número factorizado de veces incrementando el número multiplicado. Cuando el número N es un racional lo tratamos a parte del natural
Para calcular los números factoriales racionales, es diferente a cómo lo hacen otras calculadoras y emplea el mismo método que en la potenciación normal,
que es el siguiente:
Buscando el Racional de N,M! tenemos que:
Resto = (N+1)! - N! donde Resto contiene un número par entre los 2 naturales de N factorial...
N,M! = Resultado = N! + (Resto · 0,M) Entonces la parte natural la sumamos a la parte decimal basada en la natural y ya está...
Así el calculo, siempre tiene el mismo intervalo de crecimiento exponencial entre (N+1)! y N! , lo cual, tras fraccionar-lo, se determina el
número de incógnita que va hay en medio con esos decimales, ya que estos, están dentro de ese limite entre N! y (N+1)!
Cómo es de esperar, este proceso de sumas y multiplicaciones, nunca provoca números infinitos, por ser sumas y multiplicaciones de números finitos.
Esto mismo, varia en otras calculadoras que no sean las Pol Power Calculator, cuando N es racional.
Si para 3!=6 y 4!=24 entonces el 3,5!S=15=((24-6)·0,5)+6
La lógica se la llevan los números naturales en los que se basa el algoritmo de la sumatoria para el operador de factorial en las Pol Power Calculator.
03 Para Que Sirven Las Notaciones Factoriales Multiplicativas
La utilidad de los números factoriales multiplicativos, puede resumir-se, a hacer-la servir en matemática de combinatoria, estadística y probabílistica.
Por ejemplo:
Imaginemos que tenemos 3 gatos y los tenemos que ordenar con todos los diferentes ordenes que puedan existir.
El orden quedaría en esto:
1 2 3
1 3 2
2 1 3
2 3 1
3 1 2
3 2 1
Así lo que tenemos es 3!=6=1·2·3 posibles permutaciones que se resumen a 2 combinaciones por gato ( 2·3 ), para el orden de esos 3 gatos totales.
Si nos fijamos, de los 6 casos, hay 3 que son inversos a los otros 3
Este ejemplo se puede aplicar en este caso a los factoriales de suma siendo de mismo resultado para el factor de 3 que es 3!S=3!=6
04 Por Que N Factorial Menor a 2 es Igual a N
El que N!=N cuando N<2 es por los propios pasos de factoriales de 1!=1 y 2!=2 , los cuales presentan la igualdad de cara a N=N! , y de esta
igualdad que los factoriales menores a 2 , sean igualdades de las entradas de factoriales.
Esto se produce porque el factorial menor a 2 es 1 , y las multiplicaciones de 1 por algo, siempre son ese algo.
Si 1!=1 y el 2!=2 lo normal es que los factoriales menores a 2 , sean igualdades de los números de entradas de factoriales normales.
05 Por Que 0 Factorial es Igual a 0
En las calculadoras Pol Power Calculator, el factorial de multiplicaciones normal empieza a partir de valores grupales naturales mayores a 2 ( a partir de 3 )
donde los factoriales de 0! 1! y 2! se igualan a la base factorial.
Se piensa que 0! = 1 y que 1! = 1 según la siguiente formula de factoriales normales:
N! = (N-1)! · N
Si la ecuación es con menos es fácil confundir los resultados con menores de 3 con por ejemplo:
Pero, reformulando la ecuación de N! = N!·(N-1) , multiplicando y sumando, también hemos de dar con esta
otra igualdad:
(N+1)! = N! · (N+1)
Que dado este ejemplo se deberia empezar a comprobar por un valor grupal, y sabiendo que 0! = 0 y 1! = 1 ,
tenemos que para un valor grupal factorizado se cumple que:
0 = 0! = 0 Este caso no existe... aunque queda bien definido sin igualdad al siguiente...
1 = 1! = 1 Este caso no existe... diferente al anterior que sigue en el siguiente...
2 = 2! = 1! · 2 Este caso no existe... aunque aquí puede empezar ya que un valor es de valor grupal...
6 = 3! = 2! · 3 Y Aquí empieza de verdad el valor distinto de N! con N que es de valor grupal mayor a 2...
24 = 4! = 3! · 4
120 = 5! = 4! · 5
Dando-se así y siguiendo la serie factorizable con naturales, que 1! = 1 y 0! = 0 de esta manera...
06 Correcciones de Pol Sobre Factoriales Racionales
Los factoriales de multiplicaciones con números racionales, en las calculadoras Pol Power Calculator,
funcionan de maneras no oficialista, por lo que la siguiente información es según las teorías de Pol.
Separación de media unidad (0,5) entre resultados.
Donde cuadratica-mente esto se cumple para todos los racionales de media unidad solo en las calculadoras Pol Power Calculator...
Los siguientes ejemplos de algoritmo, nos sirven para verificar que los números factoriales intermedios se ajustan a los números de origen en
la teoría de Pol, donde estos resultados, respetan los números de origen y no los factorizados de resultado:
Por ejemplo:
120 = 5!
420 = 5,5!
720 = 6!
Origen 3,5 = 420 / 120
Origen 6 = 720 / 120
Basandonos en estos origenes:
Origen verdadero 2,5 = 6 - 3,5 aquí es 2,5 de 5·0,5
300 = 120 · 2,5
5,5! = 420 = 300 + 120
6 = (( 2 · 6 ) / 2 ) Si el natural es esto 2!=2 entre 3!=6
12 = (( 4 · 6 ) / 2 ) el racional que esta entre 6=3! de 24/6=4 donde la mitad de 24 es 12 y es el doble del anterior ( 6·2=12=3,5! que es la mitad para el 6·4=24=4! )
24 = (( 6 · 24 ) / 6 ) Así, esté siguiente es el doble del anterior por 12·2 ya que viene de 6·4
60 = (( 15 · 24 ) / 6 ) donde este racional es 24·2,5
120 = (( 24 · 120 ) / 24 ) El Natural 24·5
360 = (( 72 · 120 ) / 24 ) Los saltos son proporcionales a los naturales 120·3
Etc...
08 Reverso del Factorial Multiplicativo
El reverso del factorial multiplicativo se resuelve con un bucle que mira su parte natural, y cuando tienes esa parte natural,
calculas la parte racional con los números de las respuestas. Cuando ya has completado el bucle que mira su parte natural ya
tienes su reverso natural y con hacer un caso que mire su parte racional, ya lo tienes.
Puedes ver el algoritmo del reverso del factorial multiplicativo en la aplicación web de factoriales de Pol Software.
El factorial de suma, es simplemente un operador más, que obedece a una serie sumatoria, en el que se hace más de una suma en serie de un número incremental
que se repite (N-1) veces.
Los factoriales de suma, están en puntos intermedios entre un número X y su cuadrado.
El factorial de sumas de un número natural, está representado dentro del triángulo de Pascal, por la tercera columna de ambos lados.
El juego del domino tiene 7!S=28 fichas de juego y estas se expresan en todas las jugadas en forma de triángulo rectángulo en una gráfica de 2 ejes de coordenadas.
Por ejemplo: El 2!S=1+2=3 y este 2 esta en la fila 2 donde hay tres casillas desde el principio , el 3!S=1+2+3=6 donde pasa parecido pero con la tercera fila que
resulta en 6 casillas , el 4!S=1+2+3+4=10 con su incremento , y, el 5!S=1+2+3+4+5=15 , entre otros resultados.
Los números factoriales de suma de naturales, son iguales a los antecuadrados de cualquier número natural.
Los factoriales de suma racionales, en el operador de factorial de suma, denota serie sumatoria de repetición adaptada a naturales, y no a una simple ecuación
cómo es el antecuadrado de un número que se consigue con la ecuación X^1,5
Por tanto, factorial de suma, es similar o parecido al antecuadrado, pero, un factorial de suma racional, denota que no es una sola ecuación ( antecuadrado ),
donde los racionales del factorial de sumas, siguen una pauta programada en la función de operador de factorial de suma, que se adapta a los naturales,
siguiendo la pauta que indica la parte natural de esa parte racional. Esto se resume a que el factorial de suma racional obedece a su serie sobre lo natural.
02 El 6 es un Numero Super Perfecto Por Esto
El 6 , es un número super perfecto por un motivo que paso a describir.
El 3!=3!S=6 es el único número que es la suma de todos sus divisores naturales, y a su vez,
es la multiplicación de todos sus números divisores naturales, lo cual, me lleva a decir, que este número es un número super
perfecto y único por tener esta cualidad que lo hace único.
El 3!S = 1+2+3 = 6
El 3! = 1·2·3 = 6
Así el 6 , es un número super perfecto por este motivo...
03 Los Factoriales de Sumas Racionales Se Calculan Asi
Los factoriales de sumas de números racionales positivos y sin signo, son una cosa especial, que se calcula de la siguiente manera en las calculadoras Pol Power Calculator.
X,Y!S = (((X+1)!S - X!S) · 0,Y ) + X!S
Donde aquí denotamos que el factorial de suma racional, no es lo mismo, que el antecuadrado de X el X^1,5 = (X+1)·(X/2) donde el
operador de factorial de suma racional ofrece un resultado que solo responde bien a la serie de sumatoria a la que pertenece.
Entonces esto deja estos números de esta manera:
Este es lo mismo con potencias:
7,875 = 3,5 ^ 1,5
Pero el operador de factoriales de suma me esta dando lo siguiente:
8 = 3,5!S
Entonces, ¿Es esto correcto?
Pues creo que si, ya que esto se resume a que un factorial de suma racional en el operador esta entre esto:
6 = 3!S
10 = 4!S
4 = 10 - 6
2 = 4 · 0,5
8 = 6 + 2
¿Y esto por que es así?
La razón es evidente, siguen la serie de sumatoria que sigue con esos números y esto está en lo siguiente que es su distanciamiento, por ejemplo:
0,125 = 8 - 7,875
Entonces esta distancia ¿Cuantas veces esta en los 2 números?
64 = 8 / 0,125
63 = 7,875 / 0,125
Entonces de lo que estamos hablando es que hay una diferencia entre estos de 1 entre el 64 y 63 ,lo que nos deja en una simetría anterior o posterior según la elección...
04 La Norma del Factorial de Sumas entre 0 y 1
Los factoriales de sumas, también cumplen la norma de igualdad de factoriales de entrada, cuando estos son menores o iguales a 1 ,
donde los factoriales de suma menores a 1 tienen la igualdad del número factorial de entrada.
Esto solo se produce cuando es la suma de 0 + un número entre 0 y 1 o igual a 1.
Así, los factoriales de suma menores a 1!S son igualdades de los números de entrada ya que son sumas de 0 más algo entre 0 y 1.
05 Raiz Base 1,5 Como Funcion Reversiva de los Factoriales de Suma Naturales
Las raíces de base 1,5 en las calculadoras Pol Power Calculator, nos devuelven la base del ante-cuadrado, que, en su
defecto, contiene la parte entera exacta y cuando son sobre racionales contienen una parte apróximada de la parte racional del resultado para X en los factoriales de suma.
El ante-cuadrado, cuando es racional, es diferente a factorial de suma, ya que uno es una simple ecuación y el otro opera a base de repeticiones
sumatorias que están adaptadas a naturales y siguen su serie con las pautas indicadas por los números naturales.
06 La Regla de los Pares e Impares Dobles en Factoriales de Sumas
En los factoriales de Suma de números naturales del 1 al infinito, podemos ver, que siempre hay la regla del doble impar seguido de doble
par, en los resultados de cada 4 factoriales de suma consecutivos.
Entre X!S y (X-1)!S cuando X es alguna potencia de base 2 natural con exponente natural de valor grupal, esta potencia siempre señalará el punto intermedio
natural entre factoriales de suma naturales correlativos, que además, será la mitad exacta de su cuadrado natural.
Por ejemplo:
Con 4 hacemos 4!S - 3!S = 10 - 6 donde entre 10 y 6 esta en el medio el 8=2^3=3,5!S donde 8 es la mitad exacta de 16=4·4=4^2
Otro ejemplo:
Con 8 hacemos 8!S y 7!S = 36 y 28 Entonces se cumple que entre 36 y 28 está el 32=2^5=7,5!S donde 32 es la mitad exacta de 64=8·8=8^2
Otro ejemplo:
Con 16 lo mismo 16!S y 15!S = 136 y 120 está el 128=2^7=15,5!S donde 128 es la mitad exacta de 256=16·16=16^2
etc...
La formula que relaciona los factoriales de suma de X con los cuadrados de X es la siguiente:
X^2 = X + (X-1)!S + (X-1)!S = X!S + (X-1)!S
Formula del ante-cuadrado natural de X
X^1,5 = (X+1)·(X/2) = X·((X·0,5)+0,5)
08 Relacion de Factoriales de Suma con Potencias de Base 2 y Exponente Impar
Coincidencias de factoriales de suma con potencias de base 2 de exponente natural e impar:
2 = 1,5!S = ((2^1)-0,5)!S = 2^1
8 = 3,5!S = ((2^2)-0,5)!S = 2^3
32 = 7,5!S = ((2^3)-0,5)!S = 2^5
128 = 15,5!S = ((2^4)-0,5)!S = 2^7
512 = 31,5!S = ((2^5)-0,5)!S = 2^9
09 Simetria de Factoriales de Suma en las Calculadoras
Aquí tienes los primeros números de resultado de factoriales de suma en las calculadoras Pol Power Calculator, pasando por los de media unidad también:
Si miramos las equivalencias entre saltos de 1 en todos los correlativos veremos lo siguiente:
2 = 1,5!S
4,5 = 2,5!S
Entonces entre estos dos hay:
2,5 = 4,5 - 2
Así los demás cumplen que:
3 = 2!S
6 = 3!S
3 = 6 - 3
8 = 3,5!S
12,5 = 4,5!S
4,5 = 12,5 - 8
Etc...
Así, el cálculo de un factorial de sumas racional con el operador de factoriales de suma, tiene simetría exacta con lo natural, cuando lo
utilizamos en el operador explicito de factoriales de suma.
No hay que olvidar, que el factorial de sumas, es un operador salido de una sumatoria, con formato de serie, que forma series de números,
a los que tiene simetría natural.
Esto mismo es parecido a la potenciación de las Pol Power Calculator, donde con una sola multiplicación de a si mismo no podemos llegar al 8 con exactitud , pero,
el propio operador si que puede hacer-lo, cuando hace más de dos veces de a si mismo en la cuenta (2^3=8=2·2·2 son 2 veces y no 1 de 8yRoot2 donde
esta última nunca llega a ser 8 si no 7.9999... ).
Entonces, lo que pasa en factoriales de suma es parecido a las potencias con los números racionales, que siguen una simetría de naturales
en los operadores de potencia y factorial, donde estos números siguen series de números parecidos a los naturales.
10 Relacion de Factoriales de Sumas con los Numeros Perfectos
Los números perfectos, se relacionan con los factoriales de suma, con esta ecuación:
Número Perfecto = ((2^X)-1)!S donde X es cualquier número impar natural mayor a 2 , exceptuando el 2 cómo par valido siendo este una excepción.
11 Inverso del Antecuadrado Natural
El inverso del factorial de suma natural es cómo el inverso del ante-cuadrado de un número de valor grupal natural, y se hace,
cambiando la multiplicación por una división, de la ecuación del ante-cuadrado.
Por ejemplo: Para saber el ante-cuadrado de 9 natural tendríamos lo siguiente:
Factorial de suma natural o ante-cuadrado natural 45=9^1,5=9!S=9·((9/2)+0,5)
Entonces El Inverso del ante-cuadrado anterior seria:
Inverso del ante-cuadrado 1,8=9/((9/2)+0,5)
Así la distancia entre ellos tiene que ser un cuadrado y su multiplicación nos devuelve el cuadrado de 9 que es 81=1,8·45=9^2
Los 2 tipos de factoriales ( Normal y de Sumas ), son números serie, que salen de una serie de resultados factorizados, y, se meten en otra serie,
en la que hemos factorizado a un solo valor la primera serie, y decimos que es su factorial en el que hay cierta correlatividad de esa serie.
Todo lo podemos ver cómo series de números en las matemáticas. La propia definición de número es algo que contabiliza algo en una serie de
símbolos. Las series están por todos lados, hay series de naturales, series de enteros, principalmente y luego otras más conocidas como las
series de Fibonacci, series de cuadrados, series de factoriales, etc...
Yo a mi juicio, lo veo todo cómo tipos de series que salen de una para entrar en otra, en las que vas de un punto a otro con los diferentes
operadores correlativamente entre puntos y siempre hay una equidad equitativa equidistante y correlativa cómo digo que hay en las calculadoras
Pol Power Calculator.
02 Saber Mas Sobre Raices o Radicales:
01 ¿Que es una Raiz?
Definicion de Raiz o Radical Segun Pol
La raíz o radical, es un operador de valores grupales de entrada, que técnicamente depende de los resultados de 2 valores de una potencia, el resultado
de la potencia y su exponente.
Lo que se persigue con la raíz, es obtener la base de una potencia, donde el resultado de esta potencia, es el radicando de la raíz, y el
exponente de esa potencia, es la base de la raíz.
Este operador, se cree ser el inverso de una potencia, pero, esto no es así, ya que este operador, lo que busca ( el número de incognita ) es
precisamente el número base del que si disponiamos en otros operadores calificados cómo operadores inversos de la potencia que si tenián algo
en común con base, cómo ahora son los operadores potenciación y logaritmo ( El número común X es la base que es un número de estos operadores ).
En las calculadoras Pol Power Calculator, las raíces son distintas a las de otras calculadoras.
El operador de raíz, con radicando menor a 4 ( técnicamente el primer caso de empezar potenciando por valores grupales 2^2=4 ) y con base
de raíz natural mayor a 1 ( 2 o más otra vez ) , nunca devuelve valores que sean de valor grupal ( nunca son mayores a 2 estando entre 1 y 2 ).
El operador de raíz, con radicando entre 0 y 1 , con base grupal, es siempre mayor al radicando de la ecuación.
También hay que remarcar , dejando de lado los naturales, cuando usamos valores racionales en radicandos, pasa lo siguiente:
Cuando en una raíz o radical, radicando es mayor a 4 y base es de valor grupal , el resultado de la raíz, es siempre menor a radicando.
Cuando en una raíz o radical, radicando está entre 1 y 4 y base es de valor grupal , el resultado de la raíz, está siempre entre 1 y 2
Cuando en una raíz o radical, radicando esta entre 0 y 1 , y la base es mayor a 1 , el resultado de la raíz siempre es mayor al radicando y está entre 0 y 1
Cuando una raíz o radical, la base esta entre 0 y 1 , con radicando mayor a 0 , estas ya no existen, siendo el resultado de una potencia con
esos números el de una multiplicación normal, y el resultado de la raíz, es una división normal, ya que se hace 0 veces la multiplicación
de la parte entera más la parte decimal del valor de la parte entera.
De estas observaciones, que se puedan hacer una idea de todo.
Por ejemplo, en las Pol Power Calculator tenemos las siguientes raíces o radicales:
El primer ejemplo es 4 yRoot 0,25 = 16 ya que 16 ^ 0,25 = 4
El segundo ejemplo es 0,125 yRoot 0,5 = 0,25 ya que 0,25 ^ 0,5 = 0,125
El tercer ejemplo es 4 yRoot 2 = 2 ya que 2 ^ 2 = 4
El cuarto y último ejemplo es el de 0,25 yRoot 2 = 0,5 ya que 0,5 ^ 2 = 0,25
Lo siguiente evidencia los errores en otras calculadoras con la siguiente proporción lógica:
Si tenemos que entre 4 y 8 hay 1 de exponente, tendríamos que tener 0,25 decimas de ese 1 de exponente para los números 5 6 y 7 en estas ecuaciones,
pero, esto solo lo cumplen las Pol Power Calculator. Esto en otras calculadoras es erróneo y arbitrario...
1 Proceso Para Hacer Una Raiz de Cualquier Base Mayor a 1
Cómo resolver las raíces de cualquier base en un método por aproximación
Buscamos un número A = (B^C) que sea igual o inferior a nuestro número ( Num ) elevando B Por C
Donde B = Producto
Donde C = es la base de la raíz o el exponente de la potencia ( 2,3,4,etc... )
Cuando tenemos A debemos sumar A a Num para dividir-lo entre la multiplicación de (B^(C-1))· 2
Si C < 2 C queda en (B^C)· 2 sin la resta de 1
Con lo que tendremos el resultado aproximado si el resultado es asimétrico con dígitos decimales, y exacto, si es entero o simétrico.
3 Ejemplos de Raices de Cualquier Base Mayor a 1
Aquí te muestro en 3 ejemplos cómo hacer una raíz simétrica de base seleccionable por pasos.
Ejemplo de Raíz Cuadrada de 16 ( simétrica ):
4 = 16 yRoot 2
16 = 4 ^ 2
32 = 16 + 16
4 = 4 ^ 1
8 = 4 · 2
4 Simetric = 32 / 8
Ejemplo de Raíz Cubica de 64 ( simétrica ):
4 = 64 yRoot 3
64 = 4 ^ 3
128 = 64 + 64
16 = 4 ^ 2
32 = 16 · 2
4 Simetric = 128 / 32
Ejemplo de Raíz Cuadrica de 4.096 ( simétrica ):
8 = 4.096 yRoot 4
4.096 = 8 ^ 4
8.192 = 4.096 + 4.096
512 = 8 ^ 3
1.024 = 512 · 2
8 Simetric = 8.192 / 1.024
03 La Limitacion de las Raices en las Pol Power Calculator Hasta la Base 128
El Limite de Base 128 Para Raices
Las calculadoras Pol Power Calculator tienen limitaciones en las raíces de bases hasta las de 128.
La limitación esta en la parte de comprobar la exactitud de la ecuación, donde esta se queda bloqueada por la largada del
proceso de calculo.
Esta limitación es comprensible por la manera de calcular las raíces que tiene la calculadora, y es un problema de cuestiones largas de
explicar, en las que resumiendo en su por que, sale el que una raíz de base mayor a 128 es bastante más complicada de calcular, en la que
la calculadora hace demasiados ciclos para calcular raíces de base mayores a 128 , en las que se tardaría mucho, requiriendo mucho
tiempo de computo.
La limitación, es por el tiempo que tardaría en la resolución cuando es exacta, ya que por la aproximación si que es computable y
rápida, pero es errónea y por exactitud tardaría mucho tiempo en calcular-se.
De momento tienen esta limitación, aunque sigo investigando cómo mejorar este aspecto, el cual nos puede delimitar un poco a la hora de
hacer números.
Saltar la Limitacion de Base 128
La limitación de base hasta 128 impuesta por el tiempo de computo de la función de raíces en las Pol Power Calculator, puede ser esquivada de
una forma un tanto peculiar, haciendo superraíces en las que haciendo varias raíces consecutivas con los resultados, se puede esquivar
la limitación para algunos casos.
Por ejemplo:
Si tenemos que hacer la raíz de 2 yRoot 1.000 podemos hacer:
1,07177346 = 2 yRoot 10
1,00695554 = 1,07177346 yRoot 10
1,00069338 = 1,00695554 yRoot 10
Con lo que tendremos la raíz de 2 yRoot 1.000 = 1,00069338
Y así podemos esquivar la limitación para algunos casos, y aunque no es muy buen método, es una forma de esquivar la limitación por
el momento, ya que de momento no se cómo mejorar el proceso del algoritmo que tienen las calculadoras.
04 ¿Que es una Super Raiz?
Definicion de Super Raiz Segun Pol
La super-raíz o super-radical, es varias raíces una dentro de otra.
Las super raíces son muy útiles con las Pol Power Calculator ya que nos permite hacer raíces de base mayor a 128
Por ejemplo:
Si tenemos que ((2^2)^2)^2=256
Así la super raíz de 256 ySRoot 2 3 es:
16 = 256 yRoot 2
4 = 16 yRoot 2
2 = 4 yRoot 2
Así nos queda que 256 ySRoot 2 3 = 2
03 Saber Mas Sobre Trigonometria:
01 ¿Que es la Trigonometria?
01 Definicion de Trigonometria Segun Pol
La trigonometría, es la rama de las matemáticas, que estudia la relación que hay entre las longitudes de los lados y las medidas
de sus ángulos con sus proporciones variables.
Todos los tipos de triángulos, derivan de triángulos rectángulos, ya que los que no son triángulos rectángulos, salen de un par de triángulos congruentes
que si son triángulos rectángulos.
Cualquier tipo de triángulo solo puede tener un ángulo recto.
Los 3 ángulos internos de cualquier triángulo suma 180º
Los triángulos rectángulos son similares, cuando tienen los mismos ángulos internos, y así tienen las mismas proporciones cuando son
de distinto tamaño.
Cuando dos triángulos son el espejo el uno del otro se dice que son congruentes.
02 Medidas de los Angulos de los Triangulos
Para medir ángulos se utilizan dos unidades fundamentalmente que son:
Grado sexagesimal:
Es el arco que se obtiene al dividir la circunferencia en 360 partes iguales.
Un grado tiene 60 minutos y un minuto tiene 60 segundos.
Radián:
Es el ángulo cuya longitud de arco equivale al radio de la circunferencia.
Así el radián vale: Longitud/radio = (2 Pi · R) / R = 2 Pi
Un radián vale aproximadamente 57º
Puntuación del Autor:
Seno, Coseno y Tangente
La Importancia de los Lados de un Triangulo Rectangulo
Todos los lados de un triángulo rectángulo, los 2 lados y su hipotenusa, son vitales para obtener los valores de seno, coseno y tangente.
- El Seno es el lado del triángulo rectángulo opuesto dividido por la hipotenusa. - El Coseno es el lado del triángulo rectángulo adyacente dividido por la hipotenusa. - La Tangente es ambos lados del triángulo rectángulo opuesto dividido por el adyacente.
La geometría es una de las ramas de las matemáticas, que estudia las propiedades de las figuras en el plano 2D o el espacio 3D.
La geometría estudia todos los elementos geométricos, cómo ahora son: los cruces, los puntos, las líneas, las rectas, los planos,
las superficies, etc...
02 Que es el Area y El Volumen
El Área es una medida que contabiliza el tamaño de una superficie.
La medida del área, es una variable numérica, que contabiliza el tamaño dado por una ecuación.
El volumen es una medida que contabiliza el tamaño de un espacio.
La medida de volumen es otra variable numérica que contabiliza el tamaño dado por una ecuación.
1 Los Poliedros Regulares, son los Solidos Platonicos
Los sólidos platónicos son poliedros regulares, con todos sus lados iguales, y con el mismo número de aristas para cada vertice.
Solo existen 5 tipos de poliedros regulares conocidos, con 3 poligonos regulares de lados diferentes, que son los de la imagen de más arriba.
El matemático Leonhard Euler, propuso esta formula cuando las letras de la definición son: F=Caras , E=Aristas y V=Vertices.
V+F-E=2
Por ejemplo, el cubo es:
6+8-12=2
2 Los Poliedros Irregulares
Los sólidos arquimedianos son un ejemplo de poliedros irregulares, con diferencias en sus lados, vertices y aristas.
Existen muchos poliedros irregulares cada uno de diferentes poligonos irregulares.
Una caracteristica distintiva de los poliedros irregulares es que no puede haber uno con 7 aristas.
04 Teorema de Pitagoras
01 01 Definicion del Teorema de Pitagoras
El teorema de Pitágoras, es muy conocido, y muy usado, en muchas áreas de las matemáticas.
El teorema de Pitágoras, es muy claro y dice sobre los lados de los 2 tipos de triángulos rectángulos, lo siguiente:
Así el área del triángulo rectángulo Escaleno es: (A·B)/2
Así el área del triángulo rectángulo isósceles es: (C^2)/4 = (A·A)/2
01 02 Que Son Las Ternas Pitagoricas
Se les llama "Ternas Pitagóricas" a las ecuaciones con los 3 lados de un triángulo rectángulo que coincidan con números
finitos en cada valor de la ecuación del teorema de Pitágoras.
No existen ternas Pitagóricas de triángulos rectángulos Isósceles, ya que todas las ternas Pitagóricas conocidas son sobre triángulos rectángulos escalenos.
Estas son las 5 ternas Pitagóricas de números naturales y diferentes proporcionalmente, que son las más conocidas, con valores de base menores a 50:
(3^2) + (4^2) = (5^2) = 9 + 16 = 25
(5^2) + (12^2) = (13^2) = 25 + 144 = 169
(7^2) + (24^2) = (25^2) = 49 + 576 = 625
(8^2) + (15^2) = (17^2) = 64 + 225 = 289
(9^2) + (40^2) = (41^2) = 81 + 1600 = 1681
Las ternas Pitagóricas, pueden ser similares, cuando son de proporciones racionales con factores en común cómo las siguientes:
5 = RootSquare((3^2)+(4^2)) aquí la terna Pitagórica perfecta sobre números naturales.
2,5 = RootSquare((1,5^2)+(2^2)) aquí una similar a la anterior con los primeros racionales.
1,25 = RootSquare((0,75^2)+(1^2)) similar.
0,625 = RootSquare((0,375^2)+(0,5^2)) aquí todos son racionales y similares al primero.
0,3125 = RootSquare((0,1875^2)+(0,25^2)) similar también...
Etc...
Estas 3 son similares naturalmente por tener factores comunes cómo las anteriores
(3^2) + (4^2) = (5^2) = 9 + 16 = 25 esta es muy conocida y además es perfecta
(15^2 ) + (20^2 ) = (25^2) = 225 + 400 = 625 esta ya no es perfecta pero similar a la anterior
(45^2 ) + (60^2 ) = (75^2) = 2025 + 3600 = 5625 esta tampoco es perfecta pero similar a la anterior
01 03 La Terna Pitagorica Perfecta
6=3!S
10=4!S
15=5!S
Entonces, se cumple que:
31=5!S+4!S+3!S=15+10+6
Así, siendo esta la terna pitagórica más pequeña, es perfecta siendo la suma de los tres factoriales 31!S=Número Prefecto que es 496 de 31·16=32·15,5
Entonces: 2+3+3+4=12 y 4+5=9 12+9 = 21 = 6!S=6^1,5 donde 6 es perfecto...
Esta es una rareza que cumple con números de 2 a 5 de manera continua, cosa que no se repite en ninguna otra terna Pitagórica por el hecho
de que es perfecta, e inicial saliendo del primer número de valor grupal.
01 04 El Teorema de Pitagoras con los Antecuadrados Consecutivos
El teorema de Pitágoras, puede ser reformulado en las calculadoras Pol Power Calculator, utilizando antecuadrados con los cuadrados de A B y C ,
donde con la suma de 2 antecuadrados consecutivos para cada cuadrado, igualamos los resultados de los cuadrados de la formula de Pitágoras.
Suponiendo que cualquier número de X cumple exactamente con el antecuadrado (X^1,5) = (X+1)·(X/2) y tenemos
que en el teorema de Pitágoras que es (C^2)=(A^2)+(B^2) se cumple que:
Así, los antecuadrados en la teoría de Pitágoras, nos muestra que esto es posible utilizando los antecuadrados correlativos correspondientes a cada caso...
El último teorema de Fermat, establece que, la ecuación diofantina sobre naturales establece que: (A^N)+(B^N)=(C^N) no puede ser satisfecha, cuando N es natural y mayor a 2
Cuando N es igual a 1 el problema es trivial, y cuando N es igual a 2 , puede resultar en lo que son las ternas Pitagóricas ya descritas,
y las mayores a 2 , se dice que no tienen solución.
Andrew Wiles demostró que el teorema es cierto, ya que sin sumas de más, el teorema resulta ser cierto.
Si a este teorema le añadieramos que solo puede ser resuelto de este modo cuando N cumple N-1 veces la suma...
Por ejemplo:
Tenemos (A^3)+(B^3)+(C^3)=(D^3)
(1^3)+(6^3)+(8^3)=(9^3)
1+216+512=729
Con todo esto, puedes cerciorarte que lo que se cumple es algo de esto:
(2^1)+(2^1)=(2^2)
(3^1)+(3^1)+(3^1)=(3^2)
Donde en esto, nos podemos fijar, en que cuando crece base, también lo hace el número de sumas, y es por esto, que se cumple el
teorema de fermat en todo esto. Podriamos decir que el número de sumas es la que decide el cierre simétrico de esa simetría.
03 El Teorema de la Terna Polidiana
El teorema de Pitagóricas cumple con los 2 tipos de triángulos rectángulos:
Las ternas Pitagóricas se refieren a cuando los triángulos rectángulos escalenos tienen los lados de números finitos en estas ecuaciones
que se cumplen con números finitos también en los ante-cuadrados.
Entonces las ternas Polidianas cumplen también con estas ecuaciones:
(A^1,5)+((A-1)^1,5)+(B^1,5)+((B-1)^1,5)=(C^1,5)+((C-1)^1,5) donde esto es igual que (A^2)+(B^2)=(C^2)
Por ejemplo: La terna Pitagórica Perfecta del 3 4 de resultado 5 es la siguiente:
Terna Pitagórica Perfecta (3^2) + (4^2) = (5^2)
Donde eso se traduce a que tendríamos lo siguiente:
Ternas Polidianas finitas salidas de la terna Pitagórica perfecta indicada.
Donde X = (2^1,5) + (3^1,5) = (3^2) = (A^2)
Donde Y = (3^1,5) + (4^1,5) = (4^2) = (B^2)
Donde Z = (4^1,5) + (5^1,5) = (5^2) = (C^2)
Entonces la ecuación X+Y=Z es la misma para ambos tipos de ternas pero tiene la diferencia de que las Pitagóricas son cuadradas
y las Polidianas son de ante-cuadrados correlativos para cada uno de esos cuadrados del teorema principal...
Hay que entender que el ante-cuadrado de un número X se calcula así:
01 01 Ecuaciones Para Calcular Areas de Superficies
El calculo del área de las superficies de figuras más simples en 2D, cómo son el cuadrado, triángulo o el circulo, nos puede llevar a poder calcular cualquier otro tipo de
figuras complejas en 2D, construidas de triángulos rectángulos, ya que del triángulo rectángulo, deriva cualquier otra figura más compleja, donde
hasta el circulo, podríamos hacerlo basandonos en triángulos rectángulos ( teorema de Tales ).
Así, las ecuaciones generales para resolver las áreas de las figuras geometríca básicas son las siguientes:
El cuadrado: Base · Altura
El triángulo: (Base · Altura) / 2
El circulo: (Pi · Radio)^2
01 02 Ecuaciones Para Calcular Perimetros de areas
Los cálculos de los perímetros de las figuras básicas son:
Cuadrado o rectángulo: (Base+Altura)·2
Triángulo: (Base+Altura+Hipotenusa)
Circulo: 2·PI·Radio
02 02 Ecuacion Para el Area de Heron
El matemático griego Herón de Alejandría, ideó la formula para calcular el área de un cuadrilátero cíclico.
La formula es la siguiente:
Resultado = ((s-a)·(s-b)·(s-c)·(s-d)) yRoot 2
Donde S es igual a (a+b+c+d)/2
03 01 Ecuaciones de Areas de Espacios
El área de las figuras más simples en 3D, siempre es el resultado de una ecuación que nos indica el tamaño del espacio.
Así las ecuaciones generales para resolver las áreas de las figuras en geometría espacial, son las siguientes:
El problema del cuadrito o casilla de más, es un problema por cambio de figura y de área equivalente, que solo es una ilusión óptica.
Hay 2 formas de ver ese cuadrito de más que son:
1.- Calculando el área del cudrado completo y el área del rectángulo completo.
2.- Contando cuadritos particionados por la hipotenusa y enteros no particionados.
Calculando el área de las dos figuras, te das cuenta de que la mitad triangular del área del rectángulo, tiene media casilla más
que el cuadrado completo.
Para el segundo caso, se puede ver que en la figura rectángulo partida por la hipotenusa, el área triangular tiene 26 casillas enteras para cada triángulo
y 13 casillas particionadas por la hipotenusa.
A diferencia del cuadrado que tiene 28 enteras por cada triángulo y 8 particionadas, las cuales si hechas cuentas, puedes ver que hay medio cuadrado más por
áreas triangulares de la figura rectángulo.
02 Resuelve Este Cambio de Figura
Este es el Procedimiento Para Detectar los Cuadritos Particionados de Más de la Figura Rectángulo:
Forma de Averiguar-lo ( Lo Correcto Contabilizando las Áreas de las Figuras ):
Área de Cada Cuadrado de 3·5
15 = 5 · 3
Área de Cada Triángulo de 3·5
7,5 = (5 · 3) / 2
Área de Cada Triangulo de 3·2
3 = (3 · 2) / 2
Área de Cada Triangulo de 3·3
4,5 = (3 · 3) / 2
Área Figura Completa del Rectángulo:
15 + 3 + 4,5 = 32,5 · 2 Triángulos = 65 Casillas
Área Figura Completa del Cuadrado:
15 + 15 + 7,5 + 7,5 + 4,5 + 4,5 = 64 Casillas
03 La Analoga Relacion de este Problema con las Potencias
La análoga relación que hay en el problema del cuadrito del infinito, se puede extrapolar a las potencias de las Pol Power Calculator.
Las potencias de las Pol Power Calculator suelen tener números en potencias de exponente racional, que no cuadran como nos hacen creer
en otras calculadoras.
Por ejemplo, en otras calculadoras se cumple lo siguiente:
(2^1,5)·(2^1,5)=2^3
Donde esto mismo en las Pol Power Calculator es lo siguiente:
(2^1,5)·(2^1,5)=2^3,125
Esta proporción de más ( 0,125 ) equivale al cuadrito del infinito, donde en la Pol Power Calculator el 2^1,5 equivale al 13·5=65 y en
otras calculadoras se asume que el valor de 2^1,5 es el de 8·8=64
La diferencia esta en que una es un cuadrado ( otras calculadoras ), y la otra no lo es ( Pol Power Calculator ), y en esto esta la
pequeña diferencia del cuadrito de más, en que para una es un cuadrado y la otra no lo es.
Siguiendo el rumbo de esto del cuadrado, hay que decir que, la Pol Power Calculator cumple lo siguiente:
2^1=2
2^2=4
Así 2^1,5=3
Así los cuadrados de entre 2^1 y 2^2 están los números 4=2^2 y 16=4^2 por tanto el número intermedio de estos que es el 3^2=9 y
esto es el ((16-4)/2)+3=9 donde este 9 es el (2^1,5)^2=9
Esto puede resultar en algo confuso, pero, es un hecho real aplicado en matemáticas de las Pol Power Calculator, y este es uno de
los motivos del por que dos exponentes racionales no se pueden sumar en las Pol Power Calculator, y es que esto es porque ningún número
al cuadrado puede dar ocho exacto pero nueve si...
05 Cambios Entre Bases:
¿Como Cambiar Entre Bases en JavaScript?
01 Cambios de Base
Cambia entre bases con este aplicativo de ejemplo de Pol Software.
Puedes hacer números mayores a estos con las calculadoras Pol Power Calculator.
01 Saber Mas Sobre Factoriales: 
01 ¿Que es el Factorial?
