Factoriales, Raíces, Cambios de Base y Trigonometría
Encuentra en esta pagina los mejores post de artículos relacionados con las operaciones matemáticas de factoriales, raíces, cambios de base y trigonometría con el autor autodidacta Pol Flórez.
01 Saber Mas Sobre Factoriales:
01 ¿Que es el Factorial?
01 Definicion de la Notacion Factorial Segun Pol
La notación factorial o los números factoriales, se definen con una admiración a la derecha junto al número de factor a la izquierda,
y son el producto de todos los números enteros positivos que se multiplican en serie seguidamente hasta el número de factor, para obtener
un número factorizado.
Por ejemplo:
El 4 factorial se define cómo 4!=1·2·3·4=24
El siguiente número, el 5 factorial, se define como 5!=1·2·3·4·5=120
Así los números factoriales enteros son siempre sobre enteros, ya que sus multiplos son siempre enteros.
02 Como Calcula Factoriales la Pol Power Calculator
La Pol Power Calculator, calcula los factoriales enteros de la manera fácil, ya que no es muy difícil, que es repetir un bucle el
número factorial o sea N veces con variables de incremento en cada reiteración.
Para calcular los números factoriales racionales, emplea el mismo método que en la potenciación que es el siguiente:
L = Limite de 1 seguido de tantos ceros cómo decimales hay en M de N,M
Resultado = N!+((((N+1!)-(N!))/L)·M)
Así el calculo, siempre tiene el mismo intervalo de crecimiento exponencial entre N+1 y N, lo cual tras fraccionar-lo, se determina el
número que va hay.
Cómo es de esperar, este proceso no provoca números infinitos nunca, ya que siempre se trabaja con números enteros en un proceso sobre
enteros, y aunque puedan aparecar números racionales, no es la cuestión, donde la ecuación casi siempre produce números enteros cuando
han de ser enteros por definición.
03 Para Que Sirven Las Notaciones Factoriales
La utilidad de los números factoriales, puede resumir-se para hacer-la servir en matemática estadística y probabílistica.
Por ejemplo:
Imaginemos que tenemos 3 gatos y los tenemos que ordenar con todos los diferentes ordenes que puedan existir.
El orden quedaría en esto:
1 2 3
1 3 2
2 1 3
2 3 1
3 1 2
3 2 1
Así lo que tenemos es 3!=6 posibles combinatorias para el orden de esos 3 gatos.
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02 El Secreto de los Factoriales Racionales
Los Secretos de los Numeros Factoriales Racionales
Observa las siguientes ecuaciones con las que se resuelven los números factoriales racionales en la Pol Power Calculator:
Vamos a resolver el 4,5!=72
Calculamos la diferencia entre 4! y 5! que es 96 = de 1·2·3·4·(5-1)=120-24
Cómo los decimales del factorial son 0,5 le damos un limite de 10 y partimos el 96/10=9,6 que multiplicado por los decimales es 9,6·5=48
Así 48=1·2·3·4·2 le sumamos la parte entera de 4!=24 así que 24+48=72=1·2·3·4·(1+2) donde (1+2) son las veces de la primera parte 4!
Y así obtenemos el número 72 que se consigue multiplicando los eneteros 1·2·3·4·3, que además es par y esta entre 24 y 120 ,
que además cae justo por el medio de 24 y 120 ( 96/2=48 que 48+24=1·2·3·4·3 ) con lo que el resultado de esto es 72 de número entero y par.
Cómo se puede ver, algunas de las proporciones racionales, coinciden con números enteros cómo pasa con los propios factoriales enteros,
los cuales siempre son de resultados pares y enteros a partir del 3! hacia arriba...
Numeros Factoriales de Racionales de Media Unidad
Aquí van unos ejemplos de números factoriales racionales de X,5 enumerados del 2! al 5!
03 Los Numeros Factoriales y Sus Proporciones Enteras
Los Numeros Factoriales y Sus Proporciones Enteras
Los números factoriales en la Pol Power Calculator siempre tienen números que coinciden con enteros pares a partir de 3! arriba.
En los siguientes ejemplos te muestro los factoriales que siempre coinciden con enteros pares en sus resultados de proporción entera
y racional de partes medias:
Por ejemplo el 3!=6 donde 6/3=2=2!
Por ejemplo el 3,5!=15 donde 15/6=2,5
Por ejemplo el 4!=24 donde 24/4=6=3!
Por ejemplo el 4,5!=72 donde 72/24=3
Por ejemplo el 5!=120 donde 120/5=24=4!
Por ejemplo el 5,5!=420 donde 420/120=3,5
Por ejemplo el 6!=720 donde 720/6=120=5!
Por ejemplo el 6,5!=2880 donde 2880/720=4
Por ejemplo el 7!=5040 donde 5040/720=720=6!
Por ejemplo el 7,5!=22680 donde 22680/5040=4,5
Cómo puedes ver siempre hay relación con los números enteros ya que estas operaciones son siempre sobre enteros por su parte par
en las ecuaciones.
04 Por Que Cero Factorial es Igual a Cero
Por Que Cero Factorial es Igual a Cero
El factorial de 0! es igual a cero, aunque puedas pensar o te hayan dicho que 0! es igual a uno, aquí te explico el porque de esto.
La formula de factoriales de a continuación, es la utilizada, para determinar que 0!=1
N!=N·(N-1!) siendo N mayor a 0 , donde N menores a 2 pueden arrojar errores
Por ejemplo:
1!=1·0! ¿?
2!=2·1!
3!=3·2!
Donde esto se cumple con restas y multiplicaciones en los factoriales de números naturales, pero, los factoriales, no hemos de olvidar, que son siempre
números multiplicados y sumados, así que reformulando la ecuación de N!=N·(N-1) multiplicando y sumando también hemos de dar con esta
otra igualdad:
N+1!=N!·(N+1) Siendo N mayor a 0 , donde N menor a 1 no existe, ya que equivale a un conjunto vacio
Que dado el ejemplo, y sabiendo que 1!=1 , tenemos que:
2!=1!·2
3!=2!·3
4!=3!·4
Donde aquí te muestro que realmente el número 1! y el numero 0! son casos de excepciones, cómo pasa en la propia multiplicación,
y que en estos casos, no existen cómo tal ecuación, y pasa cómo pasa en multiplicaciones, que son excepciones, y que siendo estos ejemplos
de 0!=0 y 1!=1 , son los que representan igualdades entre números de entrada y salida cómo ahora es el 2!=2.
Dando-se que 1!=1 y 0!=0
Por lo que las operaciones de factoriales de 0 y 1 son operaciones que devuleven la igualdad de 0!=0·0 y 1!=1·1 cómo pasa con las de 2!=1·2.
Así ocurre que:
N!=N·((N-1)!) se cumple solo con casos de N mayor o igual a 2 , ya que el caso de N!=0 vale lo mismo que N!=1 cuando N!=3 es diferente a N!=2 , y,
por tanto no puede haber un N!=1 igual a N!=0 ya que no los diferenciaríamos.
N+1!=N!·(N+1) se cumple siempre con casos de N mayor a 0 , y este, parte desde el 1!=1 sin excepciones, ya que siempre va a mayores de N!=1.
05 Por Que N Factorial Menor a Dos es Igual N
Por Que N Factorial Menor a 2 es Igual a N
El que N!=N cuando N<2 es por los propios pasos de factoriales de 1!=1 y 2!=2 , los cuales presentan la igualdad de cara a N=N! , y de esta
igualdad que los factoriales menores a 2 sean igualdades de las entradas de factoriales.
Si 1!=1 y el 2!=2 lo normal es que factoriales menores a 2 sean igualdades con las entradas de factoriales.
06 ¿Que es el Factorial de Sumas?
Definicion de Factorial de Sumas
Los factoriales de sumas son lo mismo que los factoriales normales, solo que en los factoriales de sumas, son ciclos de operaciones con
sumas en vez de multiplicaciones como en los factoriales normales.
El factorial de sumas, se escribe con la S después del símbolo de admiración, lo cual, se anota así X!S donde X es un número entero o racional y la
!S denota que es un factorial de sumas en vez del factorial de multiplicaciones.
Este calculo solo esta disponible en las calculadoras Pol Power Calculator.
Para Que Pueden Servir los Factoriales de Sumas
Una posible utilidad de los factoriales de sumas, puede estar ligada a la comprobación de números perfectos.
Otra posible utilización de factoriales de sumas, también puede estar ligada a geometría, donde hay algunas coincidencias que
pueden ser aprovechadas para este uso.
Por ejemplo, en la comprobación de los siguientes números perfectos:
El número 6 es perfecto, ya que 6/(2^1)=3 y 3!S=6
El número 28 es perfecto, ya que 28/(2^2)=7 y 7!S=28
El número 496 es perfecto, ya que 496/(2^4)=31 y 31!S=496
El número 8.128 es perfecto, ya que 8.128/(2^6)=127 y 127!S=8.128
...Aquí hay más números perfectos de entre medio...
Saltando al número 33.550.336 , también es perfecto, ya que 33.550.336/(2^12)=8.191 y 8.191!S=33.550.336
Cómo se puede apreciar, hay coincidencias con los números perfectos en la forma que se muestra, dividiendo el perfecto
por una elevación de 2 creciente y factorizando con factoriales de sumas de la forma expresada.
Más ejemplos pero esta vez para geometría:
9!S=45 donde este factorial arroja una 1/2 parte de un triángulo de 90º ( de un triángulo recto )
Otro ejemplo es el 4,5!S=12,5 o 4,4!S=12 donde el resultado entero de estas es 12=180/5!S=180/30 y también es 12=360/7,25!S=360/30
Otro ejemplo menos usual puede ser el 11,5!S=72 donde 360/72=5!S-4!S=5
Otro ejemplo lo conforman la multiplicación de 2 factoriales de sumas cómo son el 8!S·4!S=36·10=360
Otro ejemplo puede ser la resta de 2 factoriales de sumas que son el 4!S-3!S=4 que multiplicado por 9!S=180
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02 Saber Mas Sobre Raices de Cualquier Base:
01 ¿Que es una Raiz?
01 Definicion de Raiz o Radical Segun Pol
La raíz o radical es una de las 2 funciones inversas de las potencias, donde el radicando es el resultado de una potencia, el resultado de
la raíz es la base de una potencia, y la base de esta raíz, es el exponente de la potencia.
Las raíces o radicales en las calculadoras Pol Power Calculator son diferentes a las raíces o radicales de otras calculadoras, ya que las
potencias también son distintas a las de otras calculadoras.
Por ejemplo:
El primer ejemplo es 4 yRoot 0,25 = 16
El segundo ejemplo es 0,25 yRoot 0,5 = 0,5
Y el tercer y último ejemplo es 4 yRoot 2 = 2
02 Raices Enteras y Raices Racionales en las Pol Power Calculator
Cómo apunte técnico de las calculadoras Pol Power Calculator hay que decir que cuando el resultado de la raíz va a ser
un número entero, se puede aplicar resultados con redondeo configurando la casilla de exactitud decimal a 0.
De lo contrario, si el resultado contiene algún dígito decimal, hay que configurar la casilla a que tenga el número de decimales
requerido para la operación con un número que sea mayor a 0.
Esto se debe por la forma en que se calcula la raíz de base seleccionable donde configurar la casilla de longitud decimal a 0 indica
que es un calculo aproximado y con un número mayor a 0 que es un número exacto.
Cómo resolver las raíces de cualquier base en un método por aproximación
Buscamos un número A = (B^C) que sea igual o inferior a nuestro número ( Num ) elevando B Por C
Donde B = Producto
Donde C = es la base de la raíz o el exponente de la potencia ( 2,3,4,etc... )
Cuando tenemos A debemos sumar A a Num para dividir-lo entre la multiplicación de (B^(C-1))· 2
Si C < 2 C queda en (B^C)· 2 sin la resta de 1
Con lo que tendremos el resultado aproximado si el resultado es asimétrico con dígitos decimales, y exacto, si es entero o simétrico.
Ejemplos de Raices de Cualquier Base
Aquí te muestro en 3 ejemplos cómo hacer una raíz simétrica de base seleccionable por pasos.
Ejemplo de Raíz Cuadrada de 16 ( simétrica ):
4 = 16 yRoot 2
16 = 4 ^ 2
32 = 16 + 16
4 = 4 ^ 1
8 = 4 · 2
4 Simetric = 32 / 8
Ejemplo de Raíz Cubica de 64 ( simétrica ):
4 = 64 yRoot 3
64 = 4 ^ 3
128 = 64 + 64
16 = 4 ^ 2
32 = 16 · 2
4 Simetric = 128 / 32
Ejemplo de Raíz Cuadrica de 4.096 ( simétrica ):
8 = 4.096 yRoot 4
4.096 = 8 ^ 4
8.192 = 4.096 + 4.096
512 = 8 ^ 3
1.024 = 512 · 2
8 Simetric = 8.192 / 1.024
03 Raices Simetricas y Asimetricas
Que es la Raiz Simetrica y la Raiz Asimetrica
En raíces también existen los llamados números simétricos y los números asimétricos.
Estos son unos cuantos ejemplos de ellos:
Casos simétricos: 2=4yRoot2 | 2=8yRoot3
Aquí no hay mucho que comentar ya que cómo se puede apreciar es un calculo exacto a su función opuesta ( potenciación simétrica normal ).
Aquí salen números que nunca con la potenciación simétrica normal ( su función opuesta ) nos devolvería el número entero del que partiamos ( 8 o 32 ),
por ello son números asimétricos a la raíz.
04 ¿Que es una Super Raiz?
Que es una Super Raiz
La super-raíz es la inversa de la tetración con la que conseguimos un número base a base de repeticiones de una raíz normal, llegando al resultado de la super-raíz.
Por ejemplo:
Si tenemos que ((2^2)^2)^2=256
Así la super raíz de 256 ySRoot 2 3 es:
16 = 256 yRoot 2
4 = 16 yRoot 2
2 = 4 yRoot 2
Así nos queda que 256 ySRoot 2 3 es 2
05 La Limitacion de las Raices en las Pol Power Calculator Hasta la Base 100
El Limite de Base 100 Para Raices
Las calculadoras Pol Power Calculator tienen limitaciones en las raíces de bases hasta las de 100.
La limitación esta en la parte de comprobar la exactitud de la ecuación, donde esta se queda bloqueada por la largada del
proceso de calculo.
Esta limitación es comprensible por la manera de calcular las raíces que tiene la calculadora, y es un problema de cuestiones largas de
explicar, en las que resumiendo en su por que, sale el que una raíz de base mayor a 16 es bastante más complicada de calcular, en la que
la calculadora hace demasiados ciclos para calcular raíces de base mayores a 16 , en las que se tardaría mucho, requiriendo mucho
tiempo de computo.
La limitación, es por el tiempo que tardaría en la resolución cuando es exacta, ya que por la aproximación si que es computable y rápida, pero es errónea
y por exactitud tardaría mucho tiempo en calcular-se.
De momento tienen esta limitación, aunque sigo investigando cómo mejorar este aspecto, el cual nos puede delimitar un poco a la hora de
hacer números.
Saltar la Limitacion de Base 100
La limitación impuesta por el tiempo de computo de la función de raíces en las Pol Power Calculator, puede ser esquivada de
una forma un tanto peculiar, en la que haciendo varias raíces consecutivas con los resultados, se puede esquivar la limitación.
Por ejemplo:
Si tenemos que hacer la raíz de 2 yRoot 1.000 podemos hacer:
1,07177346 = 2 yRoot 10
1,00695554 = 1,07177346 yRoot 10
1,00069338 = 1,00695554 yRoot 10
Con lo que tendremos la raíz de 2 yRoot 1.000 = 1,00069338
Si tenemos que hacer la raíz de 2 yRoot 32 podemos hacer:
1,09050773 = 2 yRoot 8
1,02189714 = 1,09050773 yRoot 4
Con lo que tendremos la raíz de 2 yRoot 32 = 1,02189714
Si tenemos que hacer la raíz de 2 yRoot 64 podemos hacer:
1,09050773 = 2 yRoot 8
1,01088928 = 1,09050773 yRoot 8
Con lo que tendremos la raíz de 2 yRoot 64 = 1,01088928
Y así podemos esquivar la limitación para algunos casos, y aunque no es muy buen método, es una forma de esquivar la limitación por
el momento, ya que de momento no se cómo mejorar el proceso del algoritmo que tienen las calculadoras.
06 Un Resultado de Raiz No Puede Ser Un Resultado de Potencia
El Resultado de una Raiz No Puede Ser el Resultado de una Potencia
Las raíces son la función inversa de las potencias, donde en la raíz se persigue conseguir la base de una potencia, y esa es su incógnita,
y se consigue mediante el número de resultado de una potencia, que en la raíz, es el radicando, y el exponente de la potencia,
que es en la raíz lo que llamamos base.
Las potencias son siempre la base multiplicada a si misma, las veces menos una, que indica el exponente.
Entonces el resultado de una raíz, es una sola parte de los números de entrada de una potencia, y no su resultado, lo cual, el resultado
de la potencia, es el radicando en la raíz, y lo que llamamos exponente en la potencia, es en la raíz, la base de esa potencia.
La Doble Direccionalidad de las Raices
La Doble Direccionalidad de las Raices en Mayores y Menores a 1
Las raíces de base seleccionable, siempre arrojan dos direcciones en los números de salida, cómo sus inversas las potenciaciones, las cuales, heredan
este punto de las multiplicaciones, las cuales también tienen 2 direccionalidades en sus números de resultado.
En esta misma web, en la parte de matemáticas 2 , concretamente en "Saber Más Sobre Multiplicaciones", ya hablo de esta doble direccionalidad
que hay en potenciaciones, multiplicaciones y divisiones, con las cuales, se decide la dirección de los números de resultado en base al número 1.
La cuestión del signo en estas raíces, es una cuestión de si los números de entrada tienen signo o no, y se resuelven cómo si fueran multiplicaciones.
03 Saber Mas Sobre Trigonometria:
01 ¿Que es la Trigonometria?
01 Que es la Trigonometria
La trigonometría es la rama de las matemáticas que estudia la relación que hay entre las longitudes de los lados y la hipotenusa de los triángulos,
y la relación que tienen con las medidas de sus ángulos y sus proporciones.
Todos los tipos de triángulos pueden salir de triángulos rectángulos, ya que los que no son triángulos rectángulos, salen de un par
de triángulos que si son rectángulos.
Los triángulos rectángulos son similares, cuando tienen los mismos ángulos internos, ya que tienen las mismas proporciones, cuando
tienen los mismos ángulos internos, teniendo las mismas proporciones en cada uno de sus lados.( proporcionalidad similar de adyacente,
opuesto e hipotenusa ).
Cuando dos triángulos son el espejo el uno del otro se dice que son congruentes.
02 Ley de Equidad de Proporciones
Si 2 triángulos rectángulos de diferente tamaño tienen dos de sus ángulos iguales ( el de 90º y otro sea el que sea ),
se dice que son similares ya que estos tienen la misma forma el uno del otro, con los mismos ángulos, así, las longitudes de sus lados, tienen
las mismas proporciones entre ambos triángulos con sus lados e hipotenusa similares.
Esta es una ley de proporcionalidades que siempre se cumple siempre que los triángulos sean similares.
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02 El Teorema de Pitagoras
01 Definicion de la Teoria de Pitagoras
La teoría de Pitágoras es muy conocida en la que se dice que la hipotenusa de un triangulo rectangulo es
igual a la raíz cuadrada de la suma de cuadrados de los lados del triángulo rectángulo, siendo la hipotenusa,
la raíz cuadrada de A al cuadrado más B al cuadrado, donde A y B son los lados del triangulo rectangulo.
Así queda que para hacer la ecuación, se necesitan dos números cualquiera y elevar-los al cuadrado, para
luego sumar-los y hacer una raíz cuadrada con el resultado, cuyo resultado nos dará lo que mide la hipotenusa.
02 Que Son Las Ternas Pitagoricas
Se les llama "Ternas Pitagóricas" a las ecuaciones del teorema de Pitágoras, cuando los dos lados y la hipotenusa del triángulo rectángulo,
son números enteros.
Así las ternas Pitagóricas son solo ecuaciones del Teorema de Pitágoras que coinciden con números enteros de los 3 lados.
Ejemplos de Ternas Pitagóricas:
A | B = C
3 | 4 = 5
5 | 12 = 13
7 | 24 = 25
8 | 15 = 17
9 | 40 = 41
03 Que es La Hipotenusa
La hipotenusa es la línea más larga de un triángulo rectángulo que es menor que la suma de los dos lados opuesto y adyacente, y también
es la línea opuesta al ángulo recto.
La hipotenusa es muy usada en trigonometría, y se puede calcular la longitud de está, sabiendo las medidas de los lados del triángulo
rectángulo con la teoría de Pitágoras.
Asi Funciona el Boton Pitagoras Theory
El botón "Pitagoras Theory" de la Pol Power Calculator, funciona con esta ecuación:
El Teorema de Pitagoras Para Seno, Coseno y Tangente
El Papel del Teorema de Pitagoras Sobre Senos Cosenos y Tangentes
El teorema de Pitágoras es muy usado en las funciones de seno, coseno y tangente.
Para saber el seno o el coseno que van desde 0 a 1 basando-se en escalas de 0º a 90º grados, hay que aplicar las formulas de calculo entre opuesto
e hipotenusa para el seno y adyacente e hipotenusa para coseno.
Las tangentes van con valores de 0 a 1 también, basando-se en una escala de 0º hasta los 45º grados en los que se usa la formula entre
opuesto y adyacente.
Los triángulos rectángulo son los que al menos tienen un ángulo recto de 90º grados, que sumados a los otros dos ángulos internos suman siempre los 180º
grados.
La ley de Pitágoras nos sirve para determinar cual es la nueva hipotenusa, cuando el ángulo adyacente o el cateto opuesto crecen o decrecen,
aplicando diferentes ángulos para cada nuevo triángulo de ángulos distintos.
Los cáluclos de los resultados de esos crecimientos o decrecimientos, se encuentran los valores de número para determinar los senos,
cosenos y tangentes.
El Seno es opuesto/hipotenusa siendo el 45º = 0,70710678 El Coseno es adyacente/hipotenusa siendo el 45º = 0,70710678 La Tangente es opuesto/adyacente siendo 45º = 1
La Importancia de los Lados de un Triangulo Rectangulo
Todos los lados de un triángulo rectángulo, los 2 lados y su hipotenusa, son vitales para obtener los valores de seno, coseno y tangente.
- El Seno es el lado del triángulo rectángulo opuesto dividido por la hipotenusa. - El Coseno es el lado del triángulo rectángulo adyacente dividido por la hipotenusa. - La Tangente es ambos lados del triángulo rectángulo opuesto dividido por el adyacente.
El último teorema de Fermat, establece que la ecuación diofantina A a la N más B a la N es igual a C a la N, no
puede ser satisfecha cuando N es un número natural y mayor a 2 , por un conjunto de números naturales en A, B y C.
Cuando N es igual a 1 el problema es trivial, y cuando N es igual a 2 , puede resultar en lo que son las ternas Pitagóricas ya descritas.
El problema se sigue manteniendo a pesar del tiempo que tiene ( 358 años ), en el cual se han dado algunas soluciones para las de N=4 , aunque
yo no las he visto, así que es cómo parece, que no las hay.
Un Problema de Dificil Solucion
El último teorema de Fermat es un problema sin solución posible y esto se puede explicar con porcentajes.
El porcentaje en A^N+B^N=C^N de un ejemplo de terna pitagórica es la siguientes:
9 = 3 ^ 2 este es el valor de A
16 = 4 ^ 2 este es el valor de B
25 = 5 ^ 2 este es el valor de C
450 = (( 9 · 100 ) / 2 ) este es el porcentaje de A
800 = (( 16 · 100 ) / 2 ) este es el porcentaje de B
1.250 = (( 25 · 100 ) / 2 ) este es el porcentaje de C
Cómo es de esperar el 450+800=1250 lo cual corresponde a algo métrico y encaja casi siempre con alguna combinación de números naturales.
El porcentaje en esta otra terna pitagórica es la siguientes:
36 = 6 ^ 2
64 = 8 ^ 2
100 = 10 ^ 2
Cómo es de esperar esta otra terna pitagórica también encaja en estos porcentajes con el 1.800+3.200=5.000 lo cual corresponde y
encaja perfectamente con sus números naturales.
Los porcentajes con los enteros de 2 son siempre metricos y simétricos, casi siempre pueden encajar en una teoría de 2 , ya que son dos sumas.
En las de N igual a 3, los porcentajes de esto varian mucho, y no se pueden cuadrar simétricamente con 2 sumas entre ellos, así que por lo menos en los
9 primeros resultados, cuando N es natural y mayor a 2 , estos porcentajes no son cuadrables para que encajen los unos con los otros, a diferencia de lo
que pasa con los de 2 , por lo cual los de N=3 suelen ser porcentajes arbitrarios, lo cual nunca es encajable.
Si con el 7200/900=8 de los números (6^3)/(3^3)=8 donde 8 son las veces que necesitaríamos sumar-se a si mismo para dar con los casos simétricos siguientes,
con los cuales, a lo mejor, podríamos alcanzar la meta de ternas, ya que los demás son arbitrarios con números infinitos los cuales con solo dos
sumas es misión imposible.
04 Saber Mas Sobre Geometria:
01 ¿Que es la Geometria?
01 Que es la Geometria
La geometría es la rama de las matemáticas que estudia las figuras, el plano y el espacio.
La geometría es una rama muy extensa que estudia figuras y planos de espacio con rectas, curvas, puntos y polígonos entre otros.
02 Que son los Axiomas
Los axiomas son propuestas que definen que son el punto ( mal dicho ) o cruce adimensional, la recta la línea o la arista, la curva,
el ángulo o el vertice, la superficie o área, el plano 2D ( planos bidimensionales ) y el bi-plano 2D ( planos tridimensionales ).
A continuación se detallan que son cada cosa ( punto, cruce, recta, línea, arista, curva, ángulo, intersección, vertice, superficie
y planos ) en estos axiomas.
03 El Punto (Mal Dicho) y el Cruce Adimensional (Bien Dicho)
Un cruce adimensional es una intersección o un doble vertice de angulos de 90º grados, opuesto el uno al otro, respetando el paralelismo
entre ambos creando un intersección de 6 direcciones y 3 dimensiones contabilizando estas 6 direcciones desde su centro de intersección
o vertices opuestos.
El punto ( mal dicho, ya que punto tiene volumen ) es todo aquel cruce adimensional ( bien dicho ) que señala una coordenada de vacio en un espacio,
un plano 2D o un bi-plano 2D ( plano 2D y planos 3D ).
Así un cruce adimensional es "aquello que no tiene parte, y que señala una coordenada en el espacio de vacio de un plano 2D llamado intersección
o de un bi-plano 2D llamado vertice doble opuesto.".
04 La Recta, la Linea o la Arista
La recta, la línea o la arista es aquella longitud de ancho que va por la parte exterior de una figura y que no tiene ni alto ni fondo,
en un bi-plano 2D ( en el propio 3D ).
Así la línea, la recta o la arista es una logitud de ancho sin alto ni fondo.
05 La Curva
Una curva es un objeto unidimensional cómo la línea la cual puede ser recta o no, siendo una curva plana cuando hablamos de 2D,
y una curva especial cuando hablamos de 3D.
Así, una curva es unidimensional cómo la línea la cual puede ser recta o no.
06 Los Angulos, las Intersecciones y los Vertices
Los ángulos son la forma de medir la inclinación existente entre dos aristas de una intersección en un plano 2D, también son más de 2 aristas de
un vertice de un bi-plano 2D, en los polígonos en planos 2D ( intersección del poligono ) o en un poliedro de bi-planos 2D ( vertice del poliedro ).
Así los ángulos son una especie de medición de inclinación entre dos rectas, líneas o aristas, en una intersección de un poligono en un plano 2D,
o más de una inclinación entre más de 2 aristas de un vertice de un de un poliedro en un bi-plano 2D.
07 La Superficie
La superficie es el área de un objeto en un plano 2D o en un bi-plano 2D que cubre la totalidad de la parte interior,
de un poliedro solido o un polígono, el cual cubre toda la superficie cerrada en una figura 2D o 3D.
Las superficies son las áreas de la región exterior de las figuras, que cubre la parte interior cerrada por los vertices de un poliedro o polígono.
08 El Plano 2D y el Bi Plano 2D
El plano 2D es el plano que tiene 2 dimensiones, una de ancho y otra de alto.
El bi-plano 2D es el que tiene 2 dimensiones ( ancho y alto ) entrelazadas con otras 2 dimensiones iguales puestas a 90º grados unas de otras,
y que por una repetición de 1 de las dimensiones, se le resta una por su entrelazamiento y así quedan un total de 3 dimensiones que son
ancho alto y fondo.
Así un plano 2D es un plano con 2 dimensiones y el bi-plano 2D tiene 3 dimensiones.
09 Espacios y Figuras 2D y 3D
El espacio y las figuras 3D no son más que una región material que forma un bi-plano 2D, el cual consiste en 3 dimensiones que están entrelazadas
formando planos 3D.
La región de espacio y figuras, puede ser medida siempre y cuando hagamos una segmentación de ella por encima del 0 y del 1 de los números naturales.
El espacio o la figura puede considerar-se un punto espacial, que esta entre 2 cruces adimensionales paralelos no equitativos, ya que este
tiene volumen propio y puede ser medido.
Un espacio o cubo de espacio, puede albergar una esféra, del diámetro del lado del cubo, pero nunca puede ser al revés.
Así un espacio cubo puede contener figuras puntuales, o esféras que midan lo mismo de lado del cubo, que de diámetro de la esféra.
Las segmentaciones nos permiten otorgar-le gravedad, posicionamiento y bi-direccionalidad a las figuras del bi-plano 2D, las cuales tienen un centro
gravitatorio y direccionalidad que se mueve en 6 direcciones ( la figura puede mover-se en 6 direcciones ) sobre otras 6 direcciones ( la
direccionalidad del espacio ), del que contabilizamos las mismas proporciones del objeto mismo en esas 6 direcciones partiendo de un
cruce adimensional 0x0x0 + 0x0x0.
Área de un punto individual de 8 totales ^ 3 Dimensiones = Totalidad de Puntos Cubicos
2^3=8 Puntos 3D de áreas y volumenes calculables
4^3=64 Puntos 3D de áreas y volumenes calculables
6^3=216 Puntos 3D de áreas y volumenes calculables
8^3=512 Puntos 3D de áreas y volumenes calculables
etc...
Puntos de Volumen del Centro al Inicio · los Puntos Mínimos de los bi-planos 2D = Totalidad de Puntos Cubicos
(1·1·1)=1 que por 8 = 8 Puntos 3D de áreas y volumenes calculables
(2·2·2)=8 que por 8 = 64 Puntos 3D de áreas y volumenes calculables
(3·3·3)=27 que por 8 = 216 Puntos 3D de áreas y volumenes calculables
(4·4·4)=64 que por 8 = 512 Puntos 3D de áreas y volumenes calculables
1 Los Poliedros Regulares, son los Solidos Platonicos
Los sólidos platónicos son poliedros regulares, con todos sus lados iguales, y con el mismo número de aristas para cada vertice.
Solo existen 5 tipos de poliedros regulares conocidos, con 3 poligonos regulares de lados diferentes, que son los de la imagen de más arriba.
El matemático Leonhard Euler, propuso esta formula cuando las letras de la definición son: F=Caras , E=Aristas y V=Vertices.
V+F-E=2
Por ejemplo, el cubo es:
6+8-12=2
2 Los Poliedros Irregulares
Los sólidos arquimedianos son un ejemplo de poliedros irregulares, con diferencias en sus lados, vertices y aristas.
Existen muchos poliedros irregulares cada uno de diferentes poligonos irregulares.
Una caracteristica distintiva de los poliedros irregulares es que no puede haber uno con 7 aristas.
04 Calculo de Areas de Figuras en un Plano 2D
01 Calculos de Areas de Figuras Geometricas de 2D
El calculo del área de las figuras más simples, nos puede llevar a poder calcular cualquier tipo de figuras más complejas en 2D construidas en
triángulos rectángulos, y siempre se hacen con cálculos de números, con números mayores a 1 , para cada una de sus aristas, lados o líneas de dimensión,
por la excepción que provocan los números entre 0 y 1 , para sus aristas, lados o líneas de dimensión en el calculo del área de cuadrados,
rectángulos, tríangulos y circulos.
Cualquier triángulo que no sea rectángulo, puede salir de 2 que si lo sean, y además con estas primeras formas geométricas es posible construir
cualquier otra figura geométrica que derive de triángulos rectángulos.
Así las formulas generales para resolver las áreas de las figuras en geometría básicas, con números mayores a 1 en sus variables de aristas, lados,
o líneas de dimensión son las siguientes:
El triángulo rectángulo: Base · Altura / 2
El cuadrado: Base · Altura
El rectángulo: Base · Altura
El circulo: Pi · Radio al cuadrado
02 02 Formula de Brahmagupta
Brahmagupta ideó la formula para calcular el área de un cuadrilátero cíclico cuando todas sus aristas son mayores a 2.
La formula es la siguiente:
Resultado = ((s-a)·(s-b)·(s-c)·(s-d)) yRoot 2
Donde S es igual a (a+b+c+d)/2
Donde a, b, c, y d son mayores a 1.
03 02 La Paradoja de la Media Parte del Area del Lado de un Cuadrado de 2cm
La paradoja que existe para el 2 que cuando es un lado de un cuadrado que mide 2cm , la posible área de 1/2 parte
también vale 2 en esta paradoja.
Si de un cuadrado, uno de sus lados mide exactamente 2cm, el área de 1/2 parte del cuadrado, tendría que ser de 2cm igual al lado.
Si escogieramos un cuadrado con lado inferior a 2cm, con un lado de 1,5cm, la 1/2 parte del cuadrado sería 1,125cm, lo cual
es inferior al lado del cuadrado.
Y, si escogemos un cuadrado con lado superior a 2cm, con un lado de 3cm, la 1/2 parte del cuadrado sería 4,5cm lo cual es superior a
el lado del cuadrado.
También hay que tener en cuenta que los cuartetos de la figura cuadrado, cuando su lado es menor a 2cm, pueden aparecer números menores a 1 , lo cual
destrozaría cualquier resultado correcto en la aplicación de las formulas expuestas.
Así con la paradoja expuesta, se podría decir que en áreas y potencias, el comienzo de resolución lógico del área de un cuadrado,
comienza a partir de un lado superior o igual a 2cm en adelante.
Esto se puede extrapolar a potenciaciones, las cuales se comienzan a potenciar con enteros a partir de los de la tabla del 2 , con exponente
mayor o igual a 2.
04 02 En el Circulo Solo Existen Diametros
El circulo 2D solo tiene 4 posibles lados, que son los 2 cruces de diámetros que se cruzan por el centro de estos lo cual forma 4 radios.
La mitad de los diámetros ( radios ) se utilizan para saber el área multiplicando-lo por el número Pi y elevando-lo a 2.
05 Calculo de Areas y Volumenes de las Figuras en 3D
Calculos de Areas de Figuras Geometricas de 3D
El calculo del área de las figuras más simples en 3D, siempre se hacen con números mayores a 1 en lo que llamamos sus aristas o variables de ecuación.
Así las formulas generales para resolver las áreas de las figuras en geometría, se aplican con números mayores a 1 en sus variables de lados,
y son las siguientes:
El cubo: Base · Altura · 6
La esféra: (8·Pi·Radio^2) / 2
Calculos de Volumenes de Figuras Geometricas de 3D
El calculo del volumen de las figuras más simples en 3D, siempre se hacen con números mayores a 1 en lo que llamamos sus aristas o variables de la ecuación.
Así las formulas generales para resolver los volumenes de las figuras en geometría, se aplican con números mayores a 1 en sus variables de lados,
y son las siguientes:
El cubo: Base · Altura · Fondo
La esféra: (8·Pi·Radio^3) / 6
06 Teorema de Tales
Teorema de Tales Triangulos Rectangulos en Semicirculos
El teorema de Tales describe triángulos rectángulos dentro de semicirculos.
El teorema de Tales nos dice que siendo A B y C puntos de un semicirculo, el cual tiene dos puntos ( A y C ) con el diámetro del circulo,
que utilizando-lo de hipotenuca, el triángulo rectángulo que forman los puntos, tiene un ángulo en B que es siempre de 90º grados.
Si el diámetro de un circulo es utilizado de hipotenusa, cualquier tercer punto del semicirculo puede formar un triángulo rectángulo.
07 Teoria de Napoleon Bonaparte
Teoria de Napoleon Bonaparte
La teoría de Napoleon Bonaparte describe que cualquier triángulo, construyendo-le a los lados de dicho triángulo 3 triángulos equilateros,
los centros de los triángulos construidos, forman otro triángulo equilátero.
Esto es parecido cuando tratamos con cuadrados y rectángulos donde los cuadrados forman un 6º cuadrado del doble de espacio
que el primero o el del centro, y con rectángulos pasa algo parecido.
El Problema del Cuadrito del Infinito
01 El Problema del Cuadrito de Mas
El problema del cuadrito o casilla de más, es un problema por cambio de figura y de área equivalente, que solo es una ilusión óptica.
Hay 2 formas de ver ese cuadrito de más que son:
1.- Calculando el área del cudrado completo y el área del rectángulo completo.
2.- Contando cuadritos particionados por la hipotenusa y enteros no particionados.
Calculando el área de las dos figuras, te das cuenta de que la mitad triangular del área del rectángulo, tiene media casilla más
que el cuadrado completo.
Para el segundo caso, se puede ver que en la figura rectángulo partida por la hipotenusa, el área triangular tiene 26 casillas enteras para cada triángulo
y 13 casillas particionadas por la hipotenusa.
A diferencia del cuadrado que tiene 28 enteras por cada triángulo y 8 particionadas, las cuales si hechas cuentas, puedes ver que hay medio cuadrado más por
áreas triangulares de la figura rectángulo.
02 Resuelve Este Cambio de Figura
Este es el Procedimiento Para Detectar los Cuadritos Particionados de Más de la Figura Rectángulo:
Forma de Averiguar-lo ( Lo Correcto Contabilizando las Áreas de las Figuras ):
Área de Cada Cuadrado de 3·5
15 = 5 · 3
Área de Cada Triángulo de 3·5
7,5 = (5 · 3) / 2
Área de Cada Triangulo de 3·2
3 = (3 · 2) / 2
Área de Cada Triangulo de 3·3
4,5 = (3 · 3) / 2
Área Figura Completa del Rectángulo:
15 + 3 + 4,5 = 32,5 · 2 Triángulos = 65 Casillas
Área Figura Completa del Cuadrado:
15 + 15 + 7,5 + 7,5 + 4,5 + 4,5 = 64 Casillas
05 Cambios Entre Bases Decimales:
¿Como Convertir de Decimal a Binario y de Binario a Decimal?
Convierte de Base Decimal a la Binaria y a la Inversa
Para convertir de binario a decimal se han de seguir estos pasos cogiendo el número binario desde la derecha hacia izquierda
número a número y multiplicando en cada número por 2:
1010 = 1·0 + 2·1 + 4·0 + 8·1
Así 1010 en Binario es 10 en Decimal
Para convertir de decimal a binario se han de seguir estos pasos dividiendo en cada caso por 2 y conservando su parte entera
anotando el residuo de la división cómo resultado y el resultado anotar-lo de izquierda a derecha:
10 = 10MOD2=0 & 5MOD2=1 & 2MOD2=0 & 1MOD2=1
Así 10 en Decimal es 1010 en Binario
¿Como Convertir de Decimal a Hexadecimal y de Hexadecimal a Decimal?
Convierte de Base Decimal a la Hexadecimal y a la Inversa
Para convertir de hexadecimal a decimal hay que saber cómo convertir de binario a decimal con el siguiente método:
Convirtamos el 24 hexadecimal en decimal
Hexadecimal | Binario
1 = 0001
2 = 0010
3 = 0011
4 = 0100
5 = 0101
6 = 0110
7 = 0111
8 = 1000
9 = 1001
A = 1010
B = 1011
C = 1100
D = 1101
E = 1110
F = 1111
Así 24 en hexadecimal es el 0010 & 0100 en binario y el 100100 en binario es en decimal: 36
Para convertir de decimal a hexadecimal se tiene que dividir entre 16 y quedarnos con la parte entera de este modo y restar cómo se
muestra a continuación:
Convirtamos el 17 decimal a hexadecimal:
17/16=1 & 17-(16·1)=1
Así el 17 en decimal es 11 en hexadecimal
¿Como Convertir de Decimal a Octal y de Octal a Decimal?
Convierte de Base Decimal a la Octal y a la Inversa
Para convertir de octal a decimal hay que saber cómo convertir de binario a decimal con el siguiente método:
Convirtamos el 16 en octal
Octal | Binario
1 = 001
2 = 010
3 = 011
4 = 100
5 = 101
6 = 110
7 = 111
Así 16 en octal es el 001 & 110 en binario y el 1110 en binario es: 14
Para convertir de decimal a octal se tiene que dividir entre 8 y quedarnos con la parte entera de este modo y restar cómo se
muestra a continuación:
Convirtamos el 28 decimal a octal:
28/8=3 & 28-(8·3)=4
Así el 28 en decimal es 34 en octal
06 Tipos de Operadores Duales:
01 Los Operadores Duales de Suma y Resta
01 Las Sumas y las Restas, Operadores de Agregado o Substraccion
La dualidad de la ley de signos en sumas y restas con signo funciona de esta manera, siempre con 2 números de entrada con signo para obtener
el de salida con signo:
- Suma + + + = + ( Se Suman )
- Suma - + + = + - ( Se Restan )
- Suma - + - = - ( Se Suman )
- Suma + + - = + - ( Se Restan )
- Resta + - + = + - ( Se Restan )
- Resta - - + = - ( Se Suman )
- Resta - - - = + - ( Se Restan )
- Resta + - - = + ( Se Suman )
02 Los Operadores Duales de Multiplicacion, Division, y Residuo
01 La Multiplicacion, la Division y Su Residuo
Las leyes de signos actuan de esta manera en las operaciones de multiplicación, división y el residuo de la división
Entre Dos Números de la siguientes forma:
03 Los Operadores Duales de Potencia, Logaritmo y Raiz
01 Las Potencias, Logaritmos y Raices Tienen La Misma Ley de Signos
Las potencias, logaritmos y raíces siempre tienen la misma ley de signos que las de multiplicaciones y las divisiones, ya que estas funciones
( raíces, logaritmos y potenciaciones ) son derivadas de estas ( multiplicaciones y divisiones ) y sus números son considerados sobre conjuntos positivos
en estas tres operaciones ( es lo mismo 10·5 = 50 que -10·5 = -50 solo cambia el signo del resultado, cosa que en la división pasa lo mismo, y esto
mismo pasa en raíces, logaritmos y potencias ).
01 El Operador de Porunidaje es un Operador Dual en Si Mismo
El porcentaje es una operación que requiere de 2 números cuando se opera con el tercero fijado en 100 o 1.000 y de tres
parámetros cuando es regresivo ( Porunidaje ).
Con estos ejemplos claros, veremos la importancia de tener un porcentaje regresivo ( porunidaje ) de tres factores ( 3 factores en vez de 2 ).
Para ello nos serviremos de estos ejemplos:
Todos Sabemos que la Operación de Porcentaje es Cómo se Expresa en la Siguiente Ecuación:
(( 128 · 100 ) / 256) = 50
Bien, Pues en ella, podemos encontrar hasta tres números, que en los porcentajes regresivos ( porunidajes ) serían así:
(( 50 · 256 ) / 100) = 128
En los que estos factores son Nuevamente:
(( CantidadDisponible · NuevoLimitante ) / CantidadLimite) = Porcentaje o Pormilaje o Porunidaje
Cómo nos podemos fijar en estos ejemplos, los porcentajes siempre constan de tres parámetros o factores que determinan el resultado,
con lo que es vital poder configurar estos 3 parámetros en vez de solo 2 , para que podamos resolver cualquier número.
Con la Pol Power Calculator Web puedes usar-los y explotar-los en su faceta Normal ( con el 100 ) y en su inversa
( con el número al que aplicar-le regresión ) y son de este tipo:
(( Num1 · Num3 ) / Num2) = Resultado
Así los porcentajes con estos 3 factores pueden hacer regresiones simétricas y asimétricas de los números de partida de un porcentaje, con lo que
el propio porunidaje ofrece la solución, tanto del normal de 2 factores, cómo el regresivo de 3 números en la ecuación.
En la Pol Power Calculator Web Puedes Hacer Porcentajes o Porunidajes Regresivos con cualquiera de los factores que te propongas, en las que
la misma operación con factores diferentes puede arrojar los resultados normales y regresivos correctos siempre siguiendo el mismo
procedimiento, solo cambiando de lugar los factores para hacer las inversas de los números primarios.
07 Configura Bien Pol Power Calculator Para Que No Falle:
Las Zonas Azules Usan Limites Decimales en las Raices
Controla Cuantos Decimales Quieres en las Raices
La casilla de "Long Decimals" de la zona azul y verde, controla el número máximo de decimales que hacen las raíces de base seleccionable.
Hay que decir que la casilla "Reiterations" también afecta a las raíces, por ello también es de color verde a parte del azul...
En el caso de la casilla azul, el 0 aplica un resultado aproximado cuando es asimétrico y el resultado exacto cuando simétrico y entero, y cuando
esta casilla es mayor a 0 , aplica ese número de decimales para encontrar la exactitud con esa precisión decimal a la ecuación de raíz.
Las raíces de base seleccionable también afectan a las funciones conseguidas con raíces de base seleccionable, que son:
- Teoría de Pitágoras
- Senos
- Cosenos
- Tangente
- Secante
- Cosecante
- Cotangente
Hay que recordar que si "Long Decimals" de la casilla azul, esta en valor de 0 y la raíz contiene decimales, saldrá un número mayor o menor al exacto,
ya que lo primero que se calcula es una aproximación redondeada...
Las Zonas Naranjas No Tienen Limite de Digitos
Las Zonas Naranjas No Tienen Limite
Todos los botones de las zonas naranjas, no utilizan ninguna clase de limitación a la hora de hacer cálculos con los números.
Así se pueden hacer números grandes sin limitación de dígitos en todos los botones de las zonas naranjas.
Las Zonas Verdes Usan Limites en las Divisiones
Controla la Largada de Divisiones
Para configurar las largadas de las divisiones, es necesarío a veces, aumentar el número de la casilla de la zona verde en
las calculadoras Pol Power Calculator.
La casilla de número de "Reiterations" de la zona verde, controla todas las funciones ( botones ) que están en las zonas verdes.
Estas funciones son:
- Divisiones ( Cómo No... )
- Residuo Divisiones
- Porcentajes
- Potenciaciones
- Logaritmos
- Residuo Logaritmos ( Mod.Log.Pow )
- Factoriales
- Cambios de Decimal a Binario, Octal y Hexadecimal
- Raíces de cualquier base
- Teoría de Pitágoras
- Senos, Cosenos, Tangentes, Secantes, Cosecantes, y Cotangentes
Hay que recordar que si la largada en decimales de Reiterations es menor a la necesaria para la ecuación, pueden salir números de resultado
erróneos, por falta de largada decimal, la cual, tiene una largada de la longitud de la suma de dígitos enteros, más, la suma de los dígitos
de los decimales.
01 Saber Mas Sobre Factoriales: 
01 ¿Que es el Factorial?
